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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 7.3 - Ex. 75

Mostre que, se uma função f   é definida em um intervalo simétrico em relação à origem (de modo que f seja definida em - x sempre que definida em x ), então

f x =   f x + f ( - x ) 2 + f x - f ( - x ) 2         ( 1 )

Então, demonstre que f x + f - x 2   é par e f x - f - x 2 é ímpar.

Passo 1

Vamos denota E x = f x + f - x 2   e O x = f x - f - x 2   . Temos que f x = E x + O ( x ) .

Para provar que E ( x ) é par, precisamos mostrar que E x = E ( - x ) (definição de função par) Vamos fazer E ( - x ) então:

E - x = f - x + f - - x 2 =   f - x + f ( x ) 2 = E ( x )

Então, E ( x ) é par.

Passo 2

Vamos agora mostrar que O ( x ) é ímpar. Para isso precisamos que O - x =   - O ( x ) :

O - x =   f - x - f ( - - x ) 2 =   f - x - f ( x ) 2 =   - f x - f - x 2 =   - O ( x )

E assim provamos que O ( x ) é ímpar.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Expresse o limite com uma integral definida . Depois, calcule a integral para determinar o valor do limite. P é uma partição do intervalo dado e os números c k são escolhidos dentro dos subintervalos
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Se ∫ 0 2 f ( x )d x = π , ∫ 0 2 7 g ( x )d x = 7 , ∫ 0 1 g ( x )d x = 2 , determine ∫ 0 2 g ( x )d x
Se ∫ - 2 2 3 f ( x )d x = 12 , ∫ - 2 5 f ( x )d x = 6 , ∫ - 2 5 g ( x )d x = 2 , determine ∫ - 2 2 f ( x )d x