Mostre que função g t =1 1 - t +1 + t - 3,1 , tem exatamente uma raíz no interior do intervalo (-1,1).

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 24

Mostre que função , tem exatamente uma raíz no interior do intervalo (-1,1).

Passo 1

Tendo em vista que um polinômio de grau n pode apresentar n raízes reais queremos mostrar que no intervalo (-1, 1) a função dada tem exatamente uma raiz, para isso contaremos com o auxílio da análise gráfica da derivada.

Passo 2

Tomemos a função e a derivemos obtendo, assim:

Isso implica que a função está crescendo no intervalo (-1,1), haja vista que o sinal da primeira derivada ( indica o comportamento da função de maneira similar ao comportamento da derivada.

Passo 3

Resta – nos , agora, verificar se temos, de fato, alguma raiz nesse intervalo e se tivermos ela será única devido ao fato de que existisse mais de um zero nesse intervalo poderíamos aplicar o teorema de Rolle que garantiria que existiria um número dentro desse intervalo que faça com que . Tomemos valores próximos dos extremos (maior valor e menor valor dentro do intervalo) para avaliarmos como: -0.99 e 0.99. Assim,

Passo 4

Como obtivemos , então, podemos afirmar que temos uma raiz nesse intervalo pelo teorema do valor intermediário. Além disso, essa raiz é única, fato constatado no passo anterior.