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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 64

Suponha que 0 <   f   ' ( x )   <   1 / 2 para todos os valores de x. Mostre que f ( -   1 )   <   f ( 1 )   <   2   +   f ( -   1 )

Passo 1

Da primeira condição dada podemos tirar algumas conclusões:

Se 0 <   f ' x < 1 2     p a r a   t o d o   x , então, a função f ' x existe para todo x → f é diferenciável em - 1,1 → f é contínua em [-1,1].

Isso significa que a nossa função f satisfaz as hipóteses do teorema do valor médio. Assim, conseguiremos mostrar a desigualdade desejada.

Passo 2

Pelo teorema do valor médio temos que uma função contínua em um intervalo fechado [a,b] e derivável em (a,b) implica em haver pelo menos um ponto C dentro desse intervalo tal que

f b - f a b - a = f ' ( c )

No nosso caso, o intervalo [a, b] será [-1 , 1] então

f 1 - f - 1 1 - ( - 1 ) = f ' ( c )

→         f 1 - f - 1 1 + 1 = f ' ( c )

→       f 1 - f - 1 2 = f ' ( c )

Passo 3

Tomando c dentro do intervalo podemos fazer

0 < f 1 - f - 1 2 < 1 2

Passando o 2 multiplicando em ambos os lados

0 * 2 < f 1 - f - 1 < 1 2 * 2 0 < f 1 - f - 1 < 1

Passo 4

Analisando cada parte da desigualdade individualmente podemos fazer

f 1 - f - 1 < 1

→     f 1 < 1 + f - 1

É fácil observar que se f ( 1 )   <   1   +   f ( - 1 ) se acrescentarmos uma unidade do lado direito da desigualdade ela continua sendo verdadeira haja vista que 1 + f ( - 1 )   < 2   +   f ( - 1 ) . Dessa forma

f 1 < 2 + f - 1   ( i )

Passo 5

Tomemos agora a segunda parte da desigualdade

0 < f 1 - f - 1

Passa f ( - 1 ) para o outro lado obtemos

f 1 >   f - 1   ( i i )

Passo 6

Por fim, podemos juntar as conclusões de ( i )   e   ( i i ) e, assim, mostramos o que era desejado

f - 1 < f 1 < 2 + f - 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Seja f uma função definida em um intervalo [ a ,b ] . Que condições você acrescentaria a f para garantir que min ⁡ f ' ≤f b - f ( a ) b - a ≤ max ⁡ f ' onde min ⁡ f ' e max ⁡ f ' se referem respectiva
Suponha que f seja derivável quando a ≤ x ≤ b e que f b ≤ f ( a ) . Demonstre que f ' é negativa em algum ponto entre a e b .
Seja f ( x )=p x 2+q x+ r uma função quadrática definida em um intervalo fechado [ a ,b ] . Mostre que existe exatamente um ponto c em ( a ,b ) no qual f satisfaz a conclusão do teorema do valor médio
Começando com a equação e x 1 ⋅ e x 2 = e x 1 + x 2 deduzida no texto, mostre que e - x = 1 / e x para qualquer número real x . Depois, mostre que e x 1 e x 2 = e x 1 - x 2 para quaisquer números x 1
Suponha quef seja contínua em [ a ,b ] e derivável em ( a ,b ) . Suponha também que f ( a ) e f ( b ) possuam sinais opostos e que f ' ≠ 0 entre a e b . Demonstre que f x = 0 apenas uma vez entre a e