Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 9.4 - Ex. 25

Os gráficos das funções logísticas (Figuras 2 e 3 ) são extremamente similares ao gráfico da função tangente hiperbólica (Figura 3 na Seção 3.11 ). Explique a similaridade, mostrando que a função logística dada pela Equação 7 pode ser escrita como

P t = 1 2   K 1 + t g h 1 2 k t - c

onde c = ln ⁡ A k . Portanto, a função logística é apenas uma tangente hiperbólica transladada.

Passo 1

Beleza, pessoal? Primeiramente, a função logística a que o enunciado se refere é esta:

P t =   K 1   +   A e - k t

Temos que provar que essa função é equivalente à do enunciado. Vamo lá?

Vamos dizer que u   =   1 2 k ( t - c ) , pra podermos trabalhar melhor com o monte de contas que vem pela frente, tá ok?

E caso você não lembre como é a definição de tangente hiperbólica, é essa daqui ó:

  t g h   u = e u   -   e - u e u   +   e - u

Passo 2

Vamos primeiro desenvolver a expressão que está dentro dos colchetes na equação do enunciado:

1 + t g h   u = 1 + e u   -   e - u e u   +   e - u = e u +   e - u e u   +   e - u   +   e u   -   e - u e u   +   e - u   =   2 e u e u   +   e - u   =   2 1   +   e - 2 u

Mas,

e - 2 u   =   e - k ( t - c )   =   e k c e - k t   =   e l n   A e - k t =   A e - k t

Então,

P t = 1 2 K 1 + t g h 1 2 k t - c   =   K 2 1 + t g h   u = K 2   2 1 + e - 2 u = K 1 + e - 2 u = K 1   +   A e - k t

Realmente, provamos que a função logística é apenas uma tangente hiperbólica transladada!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada. d y d t = t e y ,y 1 = 0
Determine uma equação da curva que passa pelo ponto ( 1 ,1 ) cuja inclinação em ( x ,y ) é y 2 / x 3 .
Encontre uma equação da curva que satisfaça d y d x = 4 x 3 y e cujo intercepto y é 7 .
Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas. y = x + k - 1
Resolva a equação diferencial.(d y)/(d x) = (y)/(x)