Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 53
Mostre que a equação do plano tangente ao paraboloide elíptico no ponto pode ser escrita como
Passo 1
Oie, vou resolver essa atividade junto com você meu nobre e amado amigo.
Precisamos demonstrar que dado um paraboloide elíptico de equação:
No ponto:
Podemos escrever a equação do plano tangente a esse paraboloide, neste ponto dado, como:
Podemos reescrever a equação como sendo
Agora podemos determinar a equação do plano tangente a uma superfície de nível do tipo em pela fórmula:
No nosso caso temos que
e .
É a partir dessa formula que iremos provar o que nos foi pedido, veja que deveremos calcular as derivadas parciais da equação acima.
Passo 2
Calculando as derivadas parciais:
Derivando apenas em relação a e considerando todas as outras variáveis como constante:
Derivando apenas em relação a e considerando todas as outras variáveis como constante:
Derivando apenas em relação a e considerando todas as outras variáveis como constante:
Substituindo na equação do plano:
Passo 3
Distribuindo a multiplicação:
Organizando os termos semelhantes próximos:
Como o ponto pertence a função , podemos substituir nessa função:
Então substituímos essa equação acima, na equação anterior:
Agora a gente simplifica:
E deixa na forma que queremos:
Resposta
Ver o desenvolvimento.