Suponha que f ( 0 )   =   5 e que f ' ( x )   =   2 para todo x . Obrigatoriamente, f ( x )   =   2 x   +   5 para todo   x ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Queremos descobrir se f ( x )   =   2 x   +   5 para qualquer x sabendo que a função apresenta valor inicial 5 ( f ( 0 )   =   5 ) e sua derivada é constante e igual a 2 para todo x. Como consequência direta do teorema do valor médio temos um corolário que diz que se encontrarmos uma função g x tal que g ' x = f ' ( x ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que f x = g x + C para qualquer x, isto é, f - g dentro do intervalo é uma função constante.

Passo 2

Para provamos o que o problema nos pede, tomemos uma função g x = 2 x + 5 e a derivamos, obtendo: g ' x = 2 para todo x. Verificamos então que g ' x = f ' ( x ) para qualquer valor de x.

Passo 3

Utilizando as conclusões do corolário, temos que f x = g x + C   ( i ) como a função f apresenta f 0 = 5 , podemos aplicar x = 0 na expressão ( i ) e obteremos:

f 0 = g 0 + C

5 = 0 + C

∴ C = 5   e   f x = 2 x + 5   p a r a   t o d o   x .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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