Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.3 - Ex. 89
Mostre que a função tem um ponto de inflexão em , mas não existe.
Passo 1
Fala meus queridos, nessa questão queremos provar que:
Possui um ponto de inflexão em mas não existe.
Sabemos que uma função possui ponto de inflexão quando a sua segunda derivada muda de sinal.
Portanto, vamos encontrar a segunda derivada dessa função e ver se em ela troca de sinal.
Geralmente estamos acostumados a falar que o ponto de inflexão ocorre quando a segunda derivada vale zero, mas isso não precisa de fato acontecer, o que precisa de fato acontecer é que a segunda derivada troque de sinal nesse ponto, ou seja, ela ser positiva antes e negativa depois ou vice-versa.
Para derivar essa função duas vezes, vamos usar do fato que :
Passo 2
Assim temos que:
Vamos agora calcular a primeira derivada:
Realizando a soma de frações, temos:
Multiplicando por em cima e embaixo, temos:
Portanto,
Agora derivando novamente, temos:
Analisando a segunda derivada, temos que:
para e para , assim é ponto de inflexão, porém não existe, pois teríamos uma divisão por zero.
Resposta
Analisando temos que para e para , assim é ponto de inflexão, porém não existe, pois teríamos uma divisão por zero.