Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 83

Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.

Passo 1

Para verificar se as nossas funções satisfazem a equação da onda, temos que calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Temos duas variais, t e x, e é em relação a elas que iremos calcular as derivadas.

∂ w ∂ t = ∂ ∂ t [ s i n ⁡ ( x + c t ) ] + ∂ ∂ t [ c o s ⁡ ( 2 x + 2 c t ) ] = cos ⁡ x + c t ⋅ c + - sin ⁡ 2 x + 2 c t ⋅ 2 c = ccos ⁡ x + c t - 2 c sin ⁡ 2 x + 2 c t ∂ w ∂ x = ∂ ∂ x [ s i n ⁡ ( x + c t ) ] + ∂ ∂ x [ c o s ⁡ ( 2 x + 2 c t ) ] = cos ⁡ x + c t + - sin ⁡ 2 x + 2 c t ⋅ 2 = cos ⁡ x + c t - 2 sin ⁡ 2 x + 2 c t ∂ 2 w ∂ t 2 = ∂ ∂ t ∂ w ∂ t = ∂ ∂ t ccos ⁡ x + c t - 2 c sin ⁡ 2 x + 2 c t = c - sin ⁡ x + c t ⋅ c - 2 c cos ⁡ 2 x + 2 c t ⋅ 2 c = - c 2 sin ⁡ x + c t - 4 c 2 cos ⁡ 2 x + 2 c t c 2 ∂ 2 w ∂ x 2 = c 2 ∂ ∂ x ∂ w ∂ x = c 2 ∂ ∂ x cos ⁡ x + c t - 2 sin ⁡ 2 x + 2 c t = c 2 - sin ⁡ x + c t - 2 cos ⁡ 2 x + 2 c t ⋅ 2 = c 2 - sin ⁡ x + c t - 4 cos ⁡ 2 x + 2 c t = - c 2 sin ⁡ x + c t - 4 c 2 cos ⁡ 2 x + 2 c t

Eles são iguais, então a equação de onda é satisfeita.

Resposta

A equação da onda é satisfeita. Veja a explicação.

Exercícios de Livros Relacionados

Verifique que a função u = 1 / x 2 + y 2 + z 2 é uma solução da equação de Laplace tridimensional u x x + u y y + u z z = 0 .
Nos Exercícios 51-54, verifique que w_x y = w_y x .
A derivada parcial de quinta ordem ∂ 5 ƒ ∂ x 2 ∂ y 3 ƒ é zero para cada uma das funções a seguir. Para mostrar isso o mais rapidamente possível, em relação a qual variável você diferencia primeiro: x
Mostre que as funções nos Exercícios 81-87 são todas soluções da equação de onda.