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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.3 - Ex. 73

Mostre que cada função dos Exercícios 73-80 satisfaz uma equação de Laplace.

Passo 1

Uma função

z = f x 1 , … ,   x n

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Assim, teremos que calcular as derivadas parciais da nossa função, somar tudo e checar se a soma é igual a 0. Vamos nessa!!!

∂ x 2 + y 2 - 2 z 2 ∂ x = 2 x

∂ ∂ x x 2 + y 2 - 2 z 2 = ∂ ∂ x x 2 + ∂ ∂ x y 2 - ∂ ∂ x 2 z 2 = ∂ ∂ x x 2 + ∂ ∂ x y 2 - ∂ ∂ x 2 z 2 = 2 x ∂ ∂ y x 2 + y 2 - 2 z 2 = ∂ ∂ y x 2 + ∂ ∂ y y 2 - ∂ ∂ y 2 z 2 = 0 + 2 y - 0 = 2 y ∂ ∂ z x 2 + y 2 - 2 z 2 = ∂ ∂ z x 2 + ∂ ∂ z y 2 - ∂ ∂ z 2 z 2 = 0 + 0 - 4 z = - 4 z

Passo 2

∂ 2 ∂ x 2 x 2 + y 2 - 2 z 2 = ∂ ∂ x ( 2 x ) = 2 ∂ 2 ∂ y 2 x 2 + y 2 - 2 z 2 = ∂ ∂ y ( 2 y ) = 2 ∂ 2 ∂ z 2 x 2 + y 2 - 2 z 2 = ∂ ∂ z ( - 4 z ) = - 4

Passo 3

∇ 2 f = 2 + 2 - 4 = 0

Satisfeito!!

Resposta

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