Mostre que as funções senh(x), tanh(x), cotg(x) e cosh x são ímpares.

Passo 1

Bom, galera, uma função f ( x ) é dita ímpar quando isso aqui acontece:

f (- x) = - f ( x )

Portanto, vamos verificar caso a caso. Começando por f (x) = senh x . Podemos escrever a função seno hiperbólico como senh x = (e^x - e^(- x))/(2) . Assim,

f (- x) = senh (- x)

f (- x) = (e^(- x) - e^x)/(2)

f (- x) = - ((e^x - e^(- x))/(2))

f (- x) = - f (x)

Logo, a função é ímpar!

Passo 2

Em seguida vamos para f (x) = tanh x . Podemos escrever a função tangente hiperbólica como ta nh x = (e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)) . Logo,

f (- x) = tanh (- x)

f (- x) = (e^(- x) - e^x)/(e^(- x) + e^x)

f (- x) = - ((e^x - e^(- x))/(e^x + e^(- x)))

f (- x) = - f (x)

Logo, a função é ímpar!

Passo 3

Seja f (x) = c o t g h x . Podemos escrever a função cotangente hiperbólica como c o t g h x = (e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x)) . Logo,

f (- x) = c o t g h ( - x )

f (- x) = (e^(- x) + e^x)/(e^(- x) - e^x)

f (- x) = - ((e^x + e^(- x))/(e^x - e^(- x)))

f (- x) = - f (x)

Logo, a função é ímpar!

Passo 4

Seja f (x) = c o s e c h x . Podemos escrever a função cossecante hiperbólica como c o s e c h x = (2)/(e^x - e^(- x)) . Logo,

f (- x) = c o s e c h ( - x )

f (- x) = (2)/(e^(- x) - e^x)

f (- x) = - ((2)/(e^x - e^(- x)))

f (- x) = - f (x)

Logo, a função é ímpar!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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