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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 35c

Mostre a validade das expressões:

  1. a r g cosh x = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) , x >= 1 ;
  2. arg tanh x = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) , - 1 < x < 1 ;
  3. arg sech x = ln ((1 + sqrt(1 - x^2))/(x)) , 0 < x <= 1

Passo 1

Galera, seja y = arg sec h x , x >= 1 . Por definição, temos que x = sec h y e x = (2)/(e^y + e^(- y)) . Podemos reescrever a última expressão como:

x (e^y + e^(- y)) = 2

x e^y + x e^(- y) = 2

x e^(2 y) + x = 2 e^y

x e^(2 y) - 2 e^y + x = 0

Passo 2

Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui para continuarmos a questão. Seja a = e^y . Logo, teremos a seguinte expressão:

x a^2 - 2 a + x = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

a = (2 +- sqrt(4 - 4 x^2))/(2 x)

Voltando para a variável original, temos:

e^y = (1 +- sqrt(1 - x^2))/(x)

Considerando só o sinal positivo e tomando o logaritmo natural dos dois lados da equação:

y = ln ((1 + sqrt(1 - x^2))/(x)) , 0 < x <= 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Defina uma função inversa para y = cosh ⁡ x , para x ≤ 0 . Esboce o gráfico.
Dada a função f (x) = 2 senh x - 3 tanh x , calcule f ( 2 ) , f ( - 1 ) e f ( 0 ) .
Sendo f (x) = cosh x , mostre quef [ln (x + sqrt(x^2 - 1))] = x
Mostre que as funções senh x , tanh x , c o t g h x e c o s e c h x são ímpares.
Mostre que as funções cos h x e sech x são pares.