Mostre a validade das expressões:

  1. arg cosh(x) = ln(x + raiz(x^2 - 1)), x >= 1 ;
  2. arg(tanh(x)) = 1 / 2 \* ln((1 + x) / (1 - x)), -1 < x < 1 ;
  3. arg(sech(x)) = ln((1 + raiz(1 - x^2)) / x), 0 < x <= 1

Passo 1

Galera, seja y = arg ⁡ sec h ⁡ x ,   x ≥ 1 . Por definição, temos que x = sec h ⁡ y e x = 2 e y + e - y . Podemos reescrever a última expressão como:

x e y + e - y = 2

x e y + x e - y = 2

x e 2 y + x = 2 e y

x e 2 y - 2 e y + x = 0

Passo 2

Vamos fazer uma substituição de variáveis aqui para continuarmos a questão. Seja a = e y . Logo, teremos a seguinte expressão:

x a 2 - 2 a + x = 0

Resolvendo a equação de segundo grau:

a = 2 ± 4 - 4 x 2 2 x

Voltando para a variável original, temos:

e y = 1 ± 1 - x 2 x

Considerando só o sinal positivo e tomando o logaritmo natural dos dois lados da equação:

y = ln ⁡ 1 + 1 - x 2 x ,   0 < x ≤ 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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