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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 2.17 - Ex. 35b

Mostre a validade das expressões:

  1. a r g cosh x = ln ( x + sqrt(x^2 - 1) ) , x >= 1 ;
  2. arg tanh x = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) , - 1 < x < 1 ;
  3. arg sech x = ln ((1 + sqrt(1 - x^2))/(x)) , 0 < x <= 1

Passo 1

Galera, seja y = arg tanh x , x >= 1 . Por definição, temos que x = tanh y e x = (e^y - e^(- y))/(e^y + e^(- y)) . Podemos reescrever a última expressão como:

x (e^y + e^(- y)) = e^y - e^(- y)

x e^y + x e^(- y) = e^y - e^(- y)

x e^(2 y) + x = e^(2 y) - 1

e^(2 y) - x e^(2 y) = 1 + x

e^(2 y) (1 - x) = 1 + x

e^(2 y) = (1 + x)/(1 - x)

Passo 2

Aplicando o logaritmo natural dos dois aldos da equação temos:

2 y = ln ((1 + x)/(1 - x))

y = (1)/(2) ln ((1 + x)/(1 - x)) , - 1 < x < 1

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre o valor exato de cada expressão.60.(a) tg - 1 ⁡ 1 / 3 (b) sec - 1 ⁡ 2
30. Em cada parte , esboce o gráfico e verifique seu trabalho com um recurso computacional. f x = 3 arcsin ⁡ x 2 . f x = arccos ⁡ x - π 2 . f x = 2 arctan ⁡ - 3 x . f x = arccos ⁡ x + arcsin ⁡ x .
29. Em cada parte encontre o valor numérico exato da expressão dada: cos ⁡ arccos ⁡ 4 5 + arcsin ⁡ 5 13 . sin ⁡ arcsin ⁡ 4 5 + arccos ⁡ 5 13.
Utilize o resultado do exercício 59 para mostrar que:
Prove que: