Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 78
- Mostre que é injetora.
- Qual valor de ?
- Use a formula do exercício 77(a) para determinar .
Passo 1
Fala aí, pessoal.
Bom, essa questão dá pra gente a função
E pede pra gente responder algumas coisa sobre ela.
No item a) termos que provar que ela é uma função injetora. Isso quer dizer que precisaremos mostrar que para todos os elementos diferentes do domínio, sempre teremos um valor diferente da função.
Um jeito de descobrir isso é verificando se ela é uma função crescente ou decrescente.
No item b) queremos o valor de , que nada mais é do que a função inversa.
Já no item c) vamos determinar o valor de . E faremos isso usando uma relação específica dada pelo livro.
Agora que já sabemos o que temos que fazer, vem comigo que te ajudo no passo a passo.
Passo 2
a) Aqui, queremos provar que
E injetora. Então vamos lá.
Assumindo
Uma vez que é uma função crescente,
e, portanto,
isto é,
Então,
é uma função crescente e, portanto, injetora.
Passo 3
b) Bom, para encontrar a inversa da função, faremos o seguinte:
vamos dizer que
Então, precisamos de um tal que:
Por inspeção, vemos que isso acontece para
Então, podemos concluir que
E, portanto,
Passo 4
c) Então, fazendo , temos que:
Pela parte (b).
Agora,
Isso implica que:
Então,
Então,
Resposta
- demonstração