Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 1
a) Encontre derivando implicitamente.
b) Resolva a equação explicitamente isolando e derive para obter em função de .
c) Verifique que sua soluções das partes (a) e (b) são consistentes, substituindo a expressão para em sua solução para a parte (a).
Passo 1
Fala aí. Tudo belezinha com você?
Nessa questão é dada a equação
E é pedido para que a gente encontre . Ou seja, precisamos derivar essa expressão em relação a .
Ainda é pedido para que a gente faça isso de duas forma diferente.
No item (a) é pedido que se derive implicitamente encontrando em função de . Pra fazer isso a gente deriva dos dois lados e depois isola o que vai aparecer. Fazendo:
Já, no item (b) é pedido que se isole para obter como função de explicitamente e daí efetuar a derivadam encontrando apenas em função de .
Ou seja, precisaremos fazer algumas manobras algébricas.
E finalemente, no item (c) é pedido para se comparar as respostas dos outros dois itens e verificar se elas são consistentes.
Agora que já sabemos o que fazer, vem comigo ver como tudo vai ficar.
Passo 2
Neste passo vamos resolver o item (a). Vamos derivar a equação dada com relação a . É importante lembrar que não podemos tratar como uma constante: ele depede de e também deve ser derivado!!!
Faremos
Como temos uma soma, podemos derivar cada um dos termos que estão do lado esquerdo.
Vamo derivar primeiro o termo pela regra do produto, já que é uma função de . Assim, termos:
Já a derivada de será
E por fim, a derivada de é . Assim, derivando a equação , obtemos
Devemos agora isolar :
E ficamos com:
Passo 3
Vamos agora resolver parte do item (b). Vamos isolar em função de na equação .
Para simplificar na hora de derivar, vamos escrever da seguinte forma:
Passo 4
Derivando a expressão encontrada no passo 3:
Assim:
Passo 5
Para encerrar, vamos fazer o item (c). Aqui vamos apenas comparar as duas respostas que encontramos calculando a derivada por dois métodos diferentes.
No item a), encontramos:
E isolando o , vimos que
Logo, podemos substituir essa expressão em . Assim:
Ajustando os sinais
Reduzindo os termos semelhantes
E dividindo cada termo pelo , teremos:
E no item b), encontramos, diretamente:
Perceba que os dois valores são iguais, logo os dois métodos funcionam muito bem.
E prontinho. Questão resolvida.
Resposta
a)
b) e