23 – 24 Considere como a variável independente e como a variável dependente e use a diferenciação implícita para encontrar .

24.

Para derivar implicitamente vamos aplicar a derivada dos dois lados da equação

é alguma constante qualquer, então podemos tira-la para fora da derivada:

Como temos duas derivadas para nos procupar, vamos fazer cada uma delas separadamente.

E

Vamos começar pela derivação de

Perceba que aqui temos uma multiplicação entre duas funções, já que é uma função de .

Então precisamos usar a regra do produto:

para resolver a derivada do lado direito da equação:

Mas para fazer precisamos utilizar a regra da cadeia, já que temos em função de . Essa regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Nesse caso a função de fora é o expoente e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:

E teremos:

Ou seja:

E para derivar o lado esquerdo, teremos:

Para derivarmos precisamos utilizar a regra da cadeia, novamente.

e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:

Nesse caso a função de fora é o expoente e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:

Aplicando a derivada nos dois termos, ficamos com

A derivada de nós acabamos de calcular, então a equação fica:

Agora, vamos juntar tudo que temos até aqui.

Tínhamos:

E vimos que:

e

Substituindo tudo, ficamos com:

Fazendo a multiplicação distributiva, ficamos com:

O que nos dá:

Colocando em evidência:

E isolando , teremos nossa derivada implícita dada por:

Prontinho. Depois de tudo isso, temos nossa resposta.