Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.6 - Ex. 24
23 – 24 Considere como a variável independente e como a variável dependente e use a diferenciação implícita para encontrar .
24.
Passo 1
Fala aí, tudo belezinha com você?
Bom, essa questão pede pra gente considerar como uma variável independente e como uma variável dependente e usar a diferenciação implícita para encontrar , na expressão:
E para derivar implicitamente, nós devemos aplicar a derivada dos dois lados da equação. Lembrando que agora devemos derivar em relação a :
Assim, vamos aplicar a derivada em cada um dos termos, e essa será nossa derivação implícita.
Vem comigo que te mostro tudo no passo a passo.
Passo 2
Para derivar implicitamente vamos aplicar a derivada dos dois lados da equação
é alguma constante qualquer, então podemos tira-la para fora da derivada:
Como temos duas derivadas para nos procupar, vamos fazer cada uma delas separadamente.
E
Passo 3
Vamos começar pela derivação de
Perceba que aqui temos uma multiplicação entre duas funções, já que é uma função de .
Então precisamos usar a regra do produto:
para resolver a derivada do lado direito da equação:
Mas para fazer precisamos utilizar a regra da cadeia, já que temos em função de . Essa regra diz que quando temos uma “função dentro da outra”:
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Nesse caso a função de fora é o expoente e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:
E teremos:
Ou seja:
Passo 4
E para derivar o lado esquerdo, teremos:
Para derivarmos precisamos utilizar a regra da cadeia, novamente.
e queremos derivá-la, a gente faz a derivada da função de fora e multiplica pela derivada da função de dentro:
Nesse caso a função de fora é o expoente e a função de dentro é , então podemos escrever a equação como sendo:
Aplicando a derivada nos dois termos, ficamos com
A derivada de nós acabamos de calcular, então a equação fica:
Agora, vamos juntar tudo que temos até aqui.
Passo 5
Tínhamos:
E vimos que:
e
Substituindo tudo, ficamos com:
Fazendo a multiplicação distributiva, ficamos com:
O que nos dá:
Colocando em evidência:
E isolando , teremos nossa derivada implícita dada por:
Prontinho. Depois de tudo isso, temos nossa resposta.