Calcule:

∫ 1 + ∞ 1 x 3 + x   d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

∫ 1 + ∞ 1 x 3 + x   d x = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 1 A 1 x 3 + x   d x  

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a expansão por frações parciais

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 1 A 1 x 3 + x   d x   = lim A → + ∞ ⁡ ∫ 1 A 1 ( x 2 + 1 ) x   d x  

Então vamos expandir

1 ( x 2 + 1 ) x = A x + B x 2 + 1 + C x = A x 2 + B x + C ( x 2 + 1 ) ( x - 1 ) ( x + 1 )

E tiramos a igualdade

A x 2 + B x + C ( x 2 + 1 ) = 1

A + C x 2 + B x + C = 1

Por igualdade de polinômios, tiramos o seguinte sistema

A + C = 0 B = 0 C = 1

Substituindo C na primeira equação

A = - C

A = - 1

Logo, temos a igualdade

1 ( x 2 + 1 ) x = - x x 2 + 1 + 1 x

Passo 3

Na integral

lim A → + ∞ ⁡ ∫ 1 A 1 ( x 2 + 1 ) x   d x   = lim A → + ∞ ⁡ - ∫ 1 A x x 2 + 1   d x + ∫ 1 A 1 x   d x  

A segunda integral é elementar, agora vamos fazer a primeira separada, utilizando a substituição simples

u = x 2 + 1 d u = 2 x   d x ⇒ x   d x = d u 2

E temos

∫ x x 2 + 1   d x = 1 2 ∫ d u u

= 1 2 ln ⁡ u + C = 1 2 ln ⁡ ( x 2 + 1 ) + C

Substituindo no limite

lim A → + ∞ ⁡ - ∫ 1 A x x 2 + 1   d x + ∫ 1 A 1 x   d x   = lim A → + ∞ ⁡ - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + ln ⁡ x 1 A  

Passo 4

Substituindo os limites de integração temos

= lim A → + ∞ ⁡ - 1 2 ln ⁡ A 2 + 1 + ln ⁡ A + 1 2 ln ⁡ 2 - ln ⁡ 1

Podemos colocar 1 / 2 em evidência e nos dois primeiros logaritmos, usar a propriedade ln ⁡ ( a / b ) = ln ⁡ a - ln ⁡ b

= 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 lim A → + ∞ ⁡ - ln ⁡ A 2 + 1 + 2 ln ⁡ A

= 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 lim A → + ∞ ⁡ - ln ⁡ A 2 + 1 + ln ⁡ A 2

= 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 lim A → + ∞ ⁡ ln ⁡ A 2 A 2 + 1

Como o logaritmo é uma função continua para um argumento maior que zero e o argumento neste caso é positivo, podemos colocar o limite para dentro

= 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ l i m A → + ∞ A 2 A 2 + 1 = 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ l i m A → + ∞ A 2 A 2 1 + 1 A 2

= 1 2 ln ⁡ 2 + 1 2 ln ⁡ 1 = 1 2 ln ⁡ 2

Resposta

1 2 ln ⁡ 2

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