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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 1q

Calcule:

int_1^(+ oo) (1)/(x^3 + x) d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_1^(+ oo) (1)/(x^3 + x) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_1^A (1)/(x^3 + x) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente, utilizando a expansão por frações parciais

underset(A -> + oo)(lim) int_1^A (1)/(x^3 + x) d x = underset(A -> + oo)(lim) int_1^A (1)/(( x^2 + 1 ) x) d x

Então vamos expandir

(1)/(( x^2 + 1 ) x) = (A x + B)/(x^2 + 1) + (C)/(x) = (A x^2 + B x + C ( x^2 + 1 ))/(( x - 1 ) ( x + 1 ))

E tiramos a igualdade

A x^2 + B x + C ( x^2 + 1 ) = 1

(A + C) x^2 + B x + C = 1

Por igualdade de polinômios, tiramos o seguinte sistema

{[[A + C = 0],[B = 0],[C = 1]])

Substituindo C na primeira equação

A = - C

A = - 1

Logo, temos a igualdade

(1)/(( x^2 + 1 ) x) = - (x)/(x^2 + 1) + (1)/(x)

Passo 3

Na integral

underset(A -> + oo)(lim) int_1^A (1)/(( x^2 + 1 ) x) d x = underset(A -> + oo)(lim) [- int_1^A (x)/(x^2 + 1) d x + int_1^A (1)/(x) d x]

A segunda integral é elementar, agora vamos fazer a primeira separada, utilizando a substituição simples

{[[u = x^2 + 1],[d u = 2 x d x => x d x = (d u)/(2)]])

E temos

int (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) int (d u)/(u)

= (1)/(2) ln u + C = (1)/(2) ln ( x^2 + 1 ) + C

Substituindo no limite

underset(A -> + oo)(lim) [- int_1^A (x)/(x^2 + 1) d x + int_1^A (1)/(x) d x] = underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(2) ln (x^2 + 1) + ln x]_1^A

Passo 4

Substituindo os limites de integração temos

= underset(A -> + oo)(lim) [- (1)/(2) ln (A^2 + 1) + ln A + (1)/(2) ln (2) - ln 1]

Podemos colocar 1 // 2 em evidência e nos dois primeiros logaritmos, usar a propriedade ln ( a // b ) = ln a - ln b

= (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) underset(A -> + oo)(lim) [- ln (A^2 + 1) + 2 ln A]

= (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) underset(A -> + oo)(lim) [- ln (A^2 + 1) + ln A^2]

= (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) underset(A -> + oo)(lim) ln ((A^2)/(A^2 + 1))

Como o logaritmo é uma função continua para um argumento maior que zero e o argumento neste caso é positivo, podemos colocar o limite para dentro

= (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) ln (underset(A -> + oo)(l i m) (A^2)/(A^2 + 1)) = (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) ln (underset(A -> + oo)(l i m) (A^2)/(A^2 (1 + (1)/(A^2))))

= (1)/(2) ln 2 + (1)/(2) ln (1) = (1)/(2) ln 2

Resposta

(1)/(2) ln 2

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