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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 3d

Calcule:

int_(- oo)^0 x e^(- x^2) d x

Passo 1

Como estamos calculando uma integral imprópria, a primeira coisa a se fazer é aplicar o limite

int_(- oo)^0 x e^(- x^2) d x = underset(A -> - oo)(lim) int_A^0 x e^(- x^2) d x

Passo 2

Agora podemos calcular a integral tranquilamente usando a substituição

{[[u = x^2],[d u = 2 x d x => x d x = (d u)/(2)]])

E substituindo os limites de integração

{[[u (0) = 0],[u (A) = A^2]])

underset(A -> - oo)(lim) int_A^0 x e^(- x^2) d x = underset(A -> - oo)(lim) (1)/(2) int_(A^2)^0 e^(- u) d u

= underset(A -> - oo)(lim) (1)/(2) [- e^(- u)]_(A^2)^0 = underset(A -> - oo)(lim) (1)/(2) [- (1)/(e^u)]_(A^2)^0

Passo 3

Substituindo os limites de integração temos

underset(A -> - oo)(lim) (1)/(2) [- (1)/(e^u)]_(A^2)^0 = underset(A -> - oo)(lim) (1)/(2) [- (1)/(e^0) + (1)/(e^(A^2))]

Para A -> - oo temos que A^2 -> + oo e e^(A^2) -> + oo , portanto a segunda fração vai zerar no limite e temos

underset(A -> - oo)(lim) (1)/(2) [- (1)/(1) + (1)/(e^(A^2))] = - (1)/(2)

Resposta

- (1)/(2)

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