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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 4.1 - Ex. 2

4. Calcule int_1^(oo) (1)/(x^(alpha)) d x , onde alpha é um numero real.

Passo 1

Quando vamos calcular essa integrai imprópria, precisamos dividir em 3 casos diferentes:Caso 1: alpha = 1 .

É muito natural considerar esse caso, pois sabemos que int (1)/(x) d x = ln x + c . Agora vamos usar a definição para calcular a integral imprópria: int_1^(oo) (1)/(x) d x = underset(b -> oo)(lim) int_1^b (1)/(x) d x = underset(b -> oo)(lim) ( ln b ) - ln 1 = oo - 0 = oo

Portanto, para alpha = 1 , essa integral imprópria diverge.

Caso 2 alpha > 1 .

Outro caso que também é natural, pois sabemos que int (1)/(x^(alpha)) d x = int x^(- alpha) d x = (x^(- alpha + 1))/(- alpha + 1) + c . Agora int_1^(oo) (1)/(x^(alpha)) d x = underset(b -> oo)(lim) int_1^b (1)/(x^(alpha)) d x = underset(b -> oo)(lim) ( (b^(- alpha + 1))/(- alpha + 1) ) + (1^(- alpha + 1))/(- alpha + 1)

Como alpha > 1 , temos que - alpha - 1 < 0 , desta forma temos que underset(b -> oo)(lim) ( (b^(- alpha + 1))/(- alpha + 1) ) = 0 . Então underset(b -> oo)(lim) int_1^b (1)/(x^(alpha)) d x = underset(b -> oo)(lim) ( (b^(- alpha + 1))/(- alpha + 1) ) + (1^(- alpha + 1))/(- alpha + 1) = (1)/(- alpha + 1) Portando, para alpha > 1 , essa integral imprópria converge para (1)/(- alpha + 1) .

Caso 3 alpha > 1 .

Esse caso é completamente análogo ao anterior, porém, como alpha > 1 , temos que

- alpha - 1 > 0 , desta forma temos que underset(b -> oo)(lim) ( (b^(- alpha + 1))/(- alpha + 1) ) = oo . Então underset(b -> oo)(lim) int_1^b (1)/(x^(alpha)) d x = underset(b -> oo)(lim) ( (b^(- alpha + 1))/(- alpha + 1) ) + (1^(- alpha + 1))/(- alpha + 1) = oo Portando, para alpha > 1 , essa integral imprópria diverge.

Resposta

(1)/(- alpha + 1) , s e alpha < 1

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