Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 40
Determine o trabalho realizado pelo campo de força em uma partícula que se move sobre a parábola de a .
Passo 1
Faala, pessoal!
Nessa questão precisamos calcular o trabalho que um campo vetorial realiza sobre um caminho . Pra isso, calculamos a integral de linha:
Que é calculada assim:
Onde é uma parametrização de com .
Pra resolver isso, vamos começar encontrando a parametrização de , calcular sua derivada (que é só derivar cada uma das componentes em função de ), e por fim aplicar a fórmula pra calcular a integral.
Passo 2
A curva dada é uma parábola
Fazendo , temos que , assim temos
E já que a curva vai de até :
Mas :
Tomando a derivada de em relação a , temos
Passo 3
Agora podemos montar nossa integral:
Com as informações:
Desta forma nossa integral fica:
Esse produto escalar é feito multiplicando as coordenadas correspondentes dos dois vetores e depois somando:
Passo 4
Agora basta resolver essa integral!
Vamos começar colocando em evidência:
E agora fazemos uma substituição :
Então a integral fica:
Tiramos esse da integral por ser constante, e ai já conseguimos calcular:
Substituindo nos limites de integração:
E achamos o valor do trabalho: