A posição de um objeto com massa m no instante t é r → t = a t 2 i ^ + b t 3 j ^ , 0 ≤ t ≤ 1 .(a) Qual é a força que age sobre o objeto no instante t ?(b) Qual é o trabalho realizado pela força durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 ?

aF → t = m a → t = 2 m a i ^ + 6 m b t j ^ b2 a 2 m + 9 2 b 2 m

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 43

A posição de um objeto com massa no instante é , .

(a) Qual é a força que age sobre o objeto no instante ?

(b) Qual é o trabalho realizado pela força durante o intervalo de tempo ?

Passo 1

E aí, galera! Tudo show?

Para essa questão, temos a posição de um objeto com massa no instante :

Devemos descobrir:

(a) a força sobre o objeto, ou seja, calcular a segunda lei de Newton:

(b) o trabalho realizado pela força no intervalo de tempo , ou seja, calcularemos por essa definição:

Para todas essas questões, trabalharemos, principalmente no item (b), com integrais de linha, logo precisamos parametrizar nossa curva e calcular. Tranquilo? 😉

Passo 2

(a) Precisamos calcular

Mas como vamos descobrir a nossa aceleração? Lá na física, se derivarmos a posição, chegaremos na velocidade, e se derivarmos de novo, chegaremos na aceleração. Simbora fazer isso!

Assim temos que

Passo 3

(b) Olhando agora para o trabalho, tomamos , assim temos que

Onde é a derivada primeira da posição, que temos calculado no passo anterior, logo:

Organizando, chegamos a:

Substituindo pelos limites de integração, o trabalho será definido por

Resposta

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Calcule ∫ γ d x + d y , onde γ é o poligonal de vértice A 0 = 0,0 , A 1 = 1,2 , A 2 = - 1,3 , A 3 = - 2,1 e A 4 = - 1 , - 1 , sendo γ orientada de A 0 para A 4 .