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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.2 - Ex. 43

A posição de um objeto com massa m no instante t é r → t = a t 2 i ^ + b t 3 j ^ , 0 ≤ t ≤ 1 .

(a) Qual é a força que age sobre o objeto no instante t ?

(b) Qual é o trabalho realizado pela força durante o intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 ?

Passo 1

E aí, galera! Tudo show?

Para essa questão, temos a posição de um objeto com massa m no instante t :

r → t = a t 2 i ^ + b t 3 j ^

Devemos descobrir:

(a) a força sobre o objeto, ou seja, calcular a segunda lei de Newton:

F → = m a →

(b) o trabalho realizado pela força no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ 1 , ou seja, calcularemos por essa definição:

W = ∫ a b F → γ → t ⋅ γ → ' t d t

Para todas essas questões, trabalharemos, principalmente no item (b), com integrais de linha, logo precisamos parametrizar nossa curva e calcular. Tranquilo? 😉

Passo 2

(a) Precisamos calcular

F → = m a →

Mas como vamos descobrir a nossa aceleração? Lá na física, se derivarmos a posição, chegaremos na velocidade, e se derivarmos de novo, chegaremos na aceleração. Simbora fazer isso!

r → t = a t 2 i ^ + b t 3 j ^ →   v → t = 2 a t i ^ + 3 b t 2 j ^ →   a → t = 2 a i ^ + 6 b t j ^

Assim temos que

F → t = m a → t

F → t = 2 m a i ^ + 6 m b t j ^

Passo 3

(b) Olhando agora para o trabalho, tomamos r → t = γ → ( t ) , assim temos que

∫ a b F → γ → t ⋅ γ → ' t d t

Onde γ → ' é a derivada primeira da posição, que temos calculado no passo anterior, logo:

W = ∫ 0 1 2 m a i ^ + 6 m b t j ^ ⋅ 2 a t i ^ + 3 b t 2 j ^   d t

Organizando, chegamos a:

∫ 0 1 4 a 2 m t + 18 b 2 m t 3 d t  

W = 2 a 2 m t 2 + 18 4 b 2 m t 4 0 1

Substituindo pelos limites de integração, o trabalho será definido por

2 a 2 m + 9 2 b 2 m

Resposta

a   F → t = m a → t = 2 m a i ^ + 6 m b t j ^

b   2 a 2 m + 9 2 b 2 m

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