Mostre que int_0^(oo) e^(- x^2) d x = int_0^1 sqrt(- ln y) d y interpretando as integrais como áreas.

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos mostrar a igualdade apresentada interpretando ambas as integrais como áreas. Para isso, utilizaremos os conceitos estudados de áreas abaixo de curvas e de integrais impróprias para encontrar a igualdade.

Passo 2

Sabemos que a integral

int_0^(oo) e^(- x^2) d x

É a área abaixo da curva y = e^(- x^2) para 0 <= x < oo . Isolando x na equação, temos

y = e^(- x^2)

ln y = - x^2

x = +- sqrt(- ln y)

Como x é positivo, pegamos apenas a raiz positiva de x .

Passo 3

Como x é positivo, pegamos apenas a raiz positiva de x . A área representada por essa curva é

int_0^1 sqrt(- ln y) d y

Dessa forma, temos que

int_0^(oo) e^(- x^2) d x = int_0^1 sqrt(- ln y) d y

Resposta

Como queremos provar,

int_0^(oo) e^(- x^2) d x = int_0^1 sqrt(- ln y) d y

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