Se , use sua calculadora ou computador para fazer uma tabela de valores aproximados de para , , , , e . Parece que é convergente?
Use o Teorema da Comparação com para mostrar que é convergente.
Ilustre a parte (b) traçando e na mesma tela para . Use seu gráfico para explicar intuitivamente por que é convergente.
Passo 1
Usando uma calculadora vamos achar os valores na tabela abaixo:
Parece que é convergente, cada vez que aumentamos o valor de o valor da integral varia pouco, parecendo que vai convergir pra um valor.
Passo 2
Vamos lá, o Teorema da Comparação diz que:
Supondo que e são contínuas com para , se é convergente, então é convergente.
Temos que o seno varia entre e , assim:
Pronto, temos que , assim é convergente.
Passo 3
Vamos lá, dá pra ver no gráfico que é finito, e a área abaixo de é menor que a área abaixo de no intervalo , assim deve ser finita, o que torna a integral convergente.