Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.Revisão - Ex. 39
Prove que a reta tangente à curva no ponto é também tangente à curva em um outro ponto e determine esse ponto
Passo 1
Bom, o exercício nos dá uma curva e pede para provarmos que uma ÚNICA reta passa em dois pontos tangenciando a curva. Nós usaremos o ponto dado para obtermos a equação da reta. Como a reta é tangente, precisamos encontrar a derivada da curva:
Passo 2
Primeiro vamos separar a derivada, e então fazemos a operação termo a termo:
Então basta derivarmos diretamente cada um:
Passo 3
Agora podemos substituir as coordenadas do ponto que nos deram para calcular o valor da inclinação da reta:
Passo 4
Usando a equação da reta:
Substituindo as coordenadas do ponto e a inclinação na equação:
Passo 5
Bom, como o enunciado nos pede outro ponto que pertence à reta tangente, precisamos substituir a equação dela na nossa equação da curva, ficaremos com:
Reescrevendo:
Com isso sabemos que os pontos e são raízes duplas desse polinômio. Se colocarmos o segundo resultado na equação da nossa curva para encontrarmos nosso ponto, vamos achar , que é o ponto que já foi dado.
Então precisamos substituir :
E então, o outro ponto que buscamos é , provando que a reta é tangente a dois pontos da mesma curva.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)