Determine as equações paramétricas para a reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado.

x = e t ,   y = t e t ,   z = t e t 2 ; ( 1,0 , 0 )

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Vou te ajudar a resolver essa atividade.

Hoje o que a gente tem é a curva paramétrica:

r t = e t , t e t , t e t 2

E precisamos encontrar as equações paramétricas para a reta tangente a está curva no ponto:

1,0 ,   0

O vetor tangente, que é necessário para encontrarmos a reta tangente, é encontrado em:

r ' t 1

Então precisaremos derivar a equação e encontrarmos qual o valor de t para o ponto:

1,0 ,   0

Esse será o nosso t 1 . A equação paramétrica será dada por:

x = a + a 0 t

y = b + b 0 t

z = c + c 0 t

Em que:

r ' t 1 = a 0 , b 0 , c 0

E

a , b , c

É o ponto pelo qual nossa reta passa.

Passo 2

Então, agora, vamos calcular a derivada, para isso, derivamos termo a termo:

r ' t = e t ,   t e t + e t ,   2 t 2 e t 2 + e t 2  

O ponto ( 1,0 , 0 ) corresponde a t = 0 , então, o vetor tangente existe:

r ' 0 = e 0 ,   0 e 0 + e 0 ,   2 0 2 e 0 2 + e 0 2

Isso implica que o vetor é:

r ' 0 = 1 , 1,1

Então temos aqui o nosso vetor:

r ' t 0 = a 0 , b 0 , c 0

Assim, a linha tangente é paralela ao vetor 1 , 1,1 e inclui o ponto ( 1,0 , 0 ) .

Então, temos que as equações paramétricas são:

x = 1 + 1 ⋅ t = 1 + t

y = 0 + 1 ⋅ t = t

z = 0 + 1 ⋅ t = t

Resposta

x = 1 + t

y = t

z = t

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