Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.3 - Ex. 61
- Mostre que é perpendicular a
- Mostre que é perpendicular a
- Deduza das partes que para algum número chamado torção da curva. (A torção mede o quanto a curva é retorcida)
- Mostre que para uma curva plana a torção .
Passo 1
Olá, tudo bem? Vamos por partes?
Sabemos que o vetor binormal é um vetor unitário e, sendo assim, seu produto escalar é :
Podemos diferenciar essa expressão em relação a :
E como a ordem da multiplicação no produto escalar não importa, podemos agrupar os dois termos do lado esquerdo:
Então temos que o produto escalar entre dois vetores é igual a zero, consequentemente esses dois vetores são ortogonais entre si.
Passo 2
Partindo da definição de , vamos diferenciar em relação à dos dois lados:
Mas a definição de é
Então, substituindo no primeiro termo do lado direito temos:
E o produto vetorial é zero, então, por fim temos uma expressão para :
E uma das propriedades do produto vetorial é que todos os vetores envolvidos são perpendiculares entre si, sendo assim o vetor é perpendicular a .
Passo 3
Partindo da definição , sabemos que esses três vetores formam uma base ortonormal para o espaço vetorial , pois são ortonogais entre si.
Das partes temos que é perpendicular aos vetores e ao mesmo tempo, então, concluímos que o vetor é paralelo ao vetor .
Sendo ele paralelo, podemos escrever como sendo um múltiplo escalar do vetor :
O negativo desse escalar é chamado de torção:
Passo 4
Já estamos carecas de saber que , e que e são vetores unitários e perpendiculares entre si.
Para um plano, ambos os vetores e situam-se no plano da curva, então é perpendicular ao plano da curva e é um vetor constante (em um plano não temos mudança de curvatura),e tão .
E da parte
Como então .
Beleza?
Vamos pra próxima?