Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 20
Mostre que um polinômio cúbico pode ter no máximo três raízes reais.
Passo 1
Queremos mostrar que um polinômio de terceiro grau da forma pode ter no máximo 3 raízes reais.Sabendo que os polinômios são funções contínuas e deriváveis em um certo intervalo é possível aplicar o teorema de Rolle para averiguar sobre as raízes do mesmo. Lembrando que o Teorema de Rolle nos diz que uma função continua em um determinado intervalo [a, b] e tendo , existe um número c tal que .
Passo 2
Para mostrarmos o que o enunciado pede, vamos utilizar o processo de contradição supondo que um polinômio cúbico possua 4 ou mais raízes e através do teorema de Rolle mostrar que isso não é possível.
Passo 3
Dada a suposição do passo anterior de que o polinômio cúbico apresenta 4 ou mais raízes, pelo teorema de Rolle podemos inferir que existem, pelo menos, três números c1, c2 e c3 entre essas raízes tais que ’(c1) = ’(c2) = ’(c3) = 0 .
Passo 4
Se ’(c1) = ’(c2) = ’(c3) = 0 e sendo ’ continua podemos aplicar novamente o Teorema de Rolle e observar que existirá, assim, pelo menos, 2 números c4 e c5 entre essas raízes de tais que ”(c4) = ”(c5) = 0.
Passo 5
Por fim, sendo continua podemos aplicar uma última vez o Teorema de Rolle tal que para teremos pelo menos uma raiz o que é uma contradição já que se derivamos a função inicial 3 vezes obteremos uma constante diferente de 0. Portanto, o polinômio cúbico pode ter, no máximo, 3 raízes reais.
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)