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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 2.3 - Ex. 39

39- Prove as afirmações de limite nos Exercícios 37-50

lim x → 9 ⁡ x - 5 = 2

Passo 1

Utilizando a definição formal temos:

f x - L < ϵ → x - x 0 < δ

Para L = 2 temos:

x 0 = 9 ,       L = 2 ,       f x = x - 5

x - 5 - 2 < ϵ

Passo 2

Desmembrando em duas equações temos:

x - 5 - 2 < ϵ

E

- x - 5 + 2 < ϵ

Resolvendo-a primeira temos:

x - 5 < ϵ + 2

x - 5 < ϵ + 2 2

x < 5 + ϵ + 2 2

Resolvendo a segunda temos:

- x - 5 < ϵ - 2

x - 5 > 2 - ϵ

x - 5 > 2 - ϵ 2

x > 5 + 2 - ϵ 2

Tendo o intervalo:

5 + 2 - ϵ 2 < x < 5 + ϵ + 2 2

ϵ 2 - 4 ϵ + 9 < x < ϵ 2 + 4 ϵ + 9

Resolvendo o valor para δ temos:

5 + ϵ + 2 2 - 9 < δ

5 + 2 - ϵ 2 - 9 < δ

O que nos dá:

- 4 + ϵ + 2 2 < δ

- 4 + 2 - ϵ 2 < δ

O que nos dá o menor caminho igual a:

| e 2 + 4 ϵ | < δ

ϵ 2 - 4 ϵ < δ

Logo o menor valor é δ = ϵ 2 - 4 ϵ

Passo 3

Tentando encontrar δ temos:

x - 5 - 2 < ϵ

Desmembrando ficaremos com:

- ϵ < x - 5 - 2 < ϵ

2 - ϵ < x - 5 < 2 + ϵ

2 - ϵ 2 < x - 5 < 2 + ϵ 2

ϵ 2 - 4 ϵ + 4 < x - 5 < ϵ 2 + 4 ϵ + 4

Nosso intervalo fica

ϵ 2 - 4 ϵ < x - 9 < ϵ 2 + 4 ϵ

Como escolhemos ϵ 2 - 4 ϵ e ela tem um módulo menor que ϵ 2 + 4 ϵ então podemos substituir por - ϵ 2 + 4 ϵ , logo podemos ter esse intervalo

ϵ 2 - 4 ϵ < x - 9 < 4 ϵ - ϵ 2

x - 9 < 4 ϵ - ϵ 2 = δ

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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