Mostre que se o ponto está em um paraboloide hiperbólico , então as retas com equações paramétricas

e

estão ambas inteiramente neste paraboloide.

(Isto mostra que o paraboloide hiperbólico é o que é chamado uma superfície regrada; ou seja, ela pode ser gerada pelo movimento de uma reta. De fato, este exercício mostra que por cada ponto do paraboloide hiperbólico existem duas retas geradoras. As únicas outras superfícies quádricas que são superfícies regradas são os cilindros, cones e hiperboloides de uma folha.)

Galera, pra provar que essas retas estão inteiramente neste paraboloide, podemos substituir , e em função dos parâmetros na equação do paraboloide hiperbólico. Se chegarmos a uma igualdade, então estará provado. Vamos começar com a primeira reta:

Porém, o ponto está no paraboloide, então podemos escrever:

Realmente, a primeira reta está inteiramente neste paraboloide.