Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 55
- Mostre que qualquer função da forma
satisfaz a equação diferencial .
- Encontre tal que , , e .
satisfaz a equação diferencial .
Passo 1
Galerinha nessa questão temos que provar que se temos uma função:
A segunda derivada dela vai ser:
Para provar isso basta usarmos as seguintes regras de derivação: A da multiplicação por constante, de funções hiperbólicas e da cadeia:
Depois, vamos encontrar uma função que tem essa cara e que satisfaça as condições dadas, que são:
, , e
Passo 2
Para a primeira temos vamos usar a regra da soma além das já citadas, lembrando que , e são constantes:
Agora a multiplicação pela constante:
Beleza, para derivar o seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico vamos usar a regra da cadeia:
Passo 3
Agora vamos para a segunda derivada, usaremos todas as regras usadas no passo anterior:
Derivando o cosseno hiperbólico e o seno hiperbólico, usando a regra da cadeia, teremos:
Colocando o em evidência, temos:
E como temos que:
Temos que:
Passo 4
- Para achar vamos fazer as substituições:
De temos a partir do passo que , afinal encontramos que:
E se queremos
Então,
Agora para achar os valores e vamos substituir os dois valores abaixo na expressão de :
E da segunda restrição temos:
Assim temos o sistema:
E temos que:
Assim:
Por fim chegamos ao que queríamos: