Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.11 - Ex. 59
Mostre que se e , então existem números e tais que é igual a ou . Em outras palavras, mostre que quase todas as funções da forma são funções seno ou cosseno hiperbólicas expandidas e deslocadas.
Passo 1
E aeee, belezinha? Bom... a questão nos pede para demonstrar que podemos escrever a seguinte função:
Na forma de funções seno ou cosseno hiperbólicas expandidas e deslocadas, ou seja, desse jeito aqui:
ou
Para isso, vamos escolher uma delas e aí a gente generaliza, tudo bem?
Vamos começar sabendo que podemos reescrever uma dessas funções hiperbólicas da seguinte forma:
Obs: o serve para generalizar tanto para o seno quanto para o cosseno.
Agora desenvolver!! 😉
Passo 2
Vamos desenvolver algebricamente a nossa expressão:
Comparando os coeficientes de e , temos:
Agora, temos que encontrar e .
Passo 3
Dividindo as duas últimas equações do Passo 2, temos:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados, temos:
Perceba que se , nós usamos o sinal positivo para obtermos a função do cosseno hiperbólico.
Por outro lado, se , nós usamos o sinal negativo para obtermos a função do seno hiperbólico.
Passo 4
Isolando nas duas últimas equações do Passo 2, temos:
E
Igualando as duas expressões, obtemos:
Passo 5
Dessa forma, analisando os resultados do Passo 4 em conjunto com a explicação no final do Passo 3, vemos dois casos:
- Se e tiverem sinais iguais, nós temos que:
- Se e tiverem sinais diferentes, nós temos que:
Resposta
Demonstração