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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.2 - Ex. 31

Use o Teorema do Valor Médio para demonstrar a desigualdade sen ⁡ a - sen ⁡ b ≤ | a - b | para todo a e b .

Passo 1

Olá, meu amigo. Yuri aqui e estarei aqui te ajudando a resolver essa atividade. Deveremos aqui utilizar o TVM para provar a desigualdade dada.

O Teorema do Valor Médio para integrais estabelece que se uma função f ( x ) é contínua em um intervalo fechado [ a ,   b ] e derivável em um intervalo aberto a ,   b , então existe pelo menos um número c em ( a ,   b ) tal que:

f ' c = f b - f ( a ) b - a

Vamos dizer que temos uma função f x = sen ⁡ x e que b < a . Assim, f é contínua em [ b , a ] e derivável em b , a .

Vamos aplicar esse teorema à função f x = sin ⁡ ( x ) no intervalo [ a ,   b ] .

Para a ≠ b podemos escrever a diferença s i n b -   s i n a   como a integral da derivada da função (   s i n x )   d e   (   a   )   a   (   b   ) :

s i n b - s i n a =   ∫ a b c o s x d x  

Passo 2

Considere a função f x = sin ⁡ x

Como sin ⁡ x é diferenciável em qualquer lugar, podemos usar o teorema do valor médio em qualquer intervalo.

f ' x = cos ⁡ x

Então podemos escrever

cos ⁡ c = sin ⁡ b - sin ⁡ a b - a

Desde que - 1 < cos ⁡ c < 1 onde podemos dizer cos ⁡ c ≤ 1

Sendo assim

sin ⁡ b - sin ⁡ a b - a ≤ 1

Multiplicando ambos os lados por b - a

sin ⁡ b - sin ⁡ a ≤ b - a

sin ⁡ a - sin ⁡ b ≤ a - b

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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A função f x = x 2 3 - 1 é tal que f - 1 = f 1 = 0 . Por que ela não verifica o Teorema de Rolle no intervalo [ - 1,1 ] ?
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(h) f
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(c) f
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente.(d) f
Em cada um dos seguintes casos, verificar se o Teorema do Valor Médio se aplica. Em caso afirmativo, achar um número c em ( a , b ) , tal que f ' c = f b - f a b - a Interpretar geometricamente. f x =