Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 46a

Mostre que com qualquer n inteiro positivo

underset(x -> oo)(lim) (ln x)/(x^n) = 0

Passo 1

Observe que inicialmente, quando x tende a infinito, temos um limite do tipo (oo)/(oo) . Se aplicarmos l’hopital n vezes, chegaremos a um ponto onde o polinômio no denominador viraris um número, enquanto a derivada do ln só subiria o valor do expoente. Veja o exemplo, suponde que o n valha 3.

underset(x -> oo)(lim) (ln x)/(x^3)

Vamos então aplicar L' hopital :

underset(x -> oo)(lim) ((1)/(x))/(3 x^2)

Aplicando mais uma vez:

underset(x -> oo)(lim) ((- 1)/(x^2))/(6 x)

Por último:

underset(x -> oo)(lim) ((2)/(x^3))/(6)

Observa como chega em um momento onde o denominador se torna uma contante, enquanto o expoente no numerador só cresce... isso faz com que tenhamos uma fração em cima, que tende para zero, dividido por uma contante n denominador. Logo, como resultado, teremos sempre 0, independente do valor de n .

Passo 2

Outra forma de perceber isso seria pela velocidade de crescimento das funções. O menor valor possível para n seria 1. Ao observarmos as funções f (x) = x e f (x) = ln x podemos observar que a função f (x) = x cresce muito mais rápido do que o ln x , logo se aproxima primeiro de infinito, logo teríamos uma contante dividido por infinito que nos dá:

underset(x -> oo)(lim) (ln x)/(x^n) = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ x 2 + x - x
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ x x - 1 - 1 ln
Há um mito que circula entre os que começam estudar Cálculo de que todas as formas indeterminadas dos tipos 0 0 ,∞ 0e1 ∞ são iguais a 1 , pois “qualquer coisa elevada a zero é 1 ” e “ 1 a qualquer pot
O Exercício 58 mostra que as formas indeterminadas 0 0 e ∞ 0 podem tomar qualquer valor real positivo. Contudo, muitas vezes ocorre que essas indeterminações tomam o valor 1. Leia o artigo “Indetermin
(a) Use um CAS para mostrar que, se k for uma constante positiva, então lim x → + ∞ ⁡ xk 1 x - 1 = ln ⁡ k (b) Confirme esse resultado usando a regra de L’Hôpital. [Sugestão: Expresse o limite em termo