(a) Use um CAS para mostrar que, se for uma constante positiva, então

(b) Confirme esse resultado usando a regra de L’Hôpital. [Sugestão: Expresse o limite em termos de .]

(c) Se for um inteiro positivo, então segue por (a) com que a aproximação

deveria ser boa com grande. Use esse resultado e a tecla da raiz quadrada de uma calculadora para aproximar os valores de e com e, então, compare os valores obtidos com aqueles do logaritmo gerados diretamente da calculadora. [Sugestão: Cada raiz enésima na qual é uma potência de dois pode ser obtida como sucessivas raízes quadradas.]

(b) Agora vamos tentar chegar nesse resultado usando a regra de L’Hospital e a sugestão do enunciado. Precisamos fazer a substituição:

O limite fica assim:

Vamos usar L’Hospital nele. Só derivar em cima e embaixo separadamente:

Chegamos no mesmo resultado que o CAS. Uhul!

(c) Precisamos usar a aproximação:

Com , ou seja:

Para calcular e . E depois comparar o que a gente achar com os valore reais.

Maaas, a gente só pode usar a raiz quadrada. Então em vez de calcularmos direto, vamos calcular a raiz quadrada de dez vezes consecutivas. Porque aí chegamos em

Belezinha? Vamos começar!

Precisamos achar . Então vamos usar a aproximação com . Fica assim:

Calculando esse log direto, achamos . A aproximação que a gente usou deu um resultado bem legal.

Vamos fazer o mesmo com . Se :

Calculando esse log direto, achamos . De novo, a aproximação foi boa. Chegou a acertar três casas decimais.

Que bonita a matemática, né? haha