Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 49
Encontre o limite. Use a regra de L’Hospital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, explique por quê.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom essa questão pede pra gente usar a regra de L’Hospital para calcular o seguinte limite:
E se existir um método mais elementar, devemos usá-lo. Se a regra de L’Hospital não for aplicável, devemos explicar o porquê.
Então vamos relembrar que regra é essas para gente possa usar.
A Regra de L'Hôpital é um teorema que ajuda a gente a calcular limites de formas indeterminadas.
A regra diz que, nesses casos, o limite da fração é igual ao limite da derivada do numerador dividida pelo limite da derivada do denominador, supondo funções deriváveis no intervalo de interesse.
Assim, se
Podemos fazer:
Agora vamos tentar calcular nosso limite.
Passo 2
Antes de tudo, vamos tomar o limite e ver o que ocorre. Fazendo:
O limite é uma indeterminação do tipo
Sendo assim, não podemos aplicar a regra de L’Hospital ainda!
Passo 3
Então vamos mexer um pouco nessa expressão pra ver se conseguimos escrever esse limite de uma forma mais apropriada para calcular seu valor.
Podemos começar colocando em evidência dentro da raiz. Assim:
Como no limite, podemos tirá-lo da raiz e colocá-lo em evidência em toda a expressão, ficamos com:
Então, nosso limite se transformou em:
Mas agora temos uma indeterminação do tipo
E ainda não podemos usar a regra do L’Hospital.
Passo 4
Uma outra coisa que podemos fazer uma é mudança de variável. Vamos usar
Assim, quando
e, além disso,
Desta forma, podemos reescrever nosso limite como:
Finalmente chegamos em algo interessante: uma indeterminação do tipo L’Hospital, pois
Passo 5
Agora que temos uma indeterminação do tipo 0/0, podemos aplicar a regra de L’Hospital, derivando a função que está no numerador e a que está no denominador e reaplicando o limite.
Lembrando que, se:
Podemos fazer:
Então precisamos das derivadas das funções que estão no numerador e no denominador. Assim, faremos:
Sua derivada será:
E
Com
E nosso limite se torna:
Ou melhor:
E calculando seu valor, ficamos com:
E prontinho.