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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 21

Mostre que

0 xx a = 0 = a xx 0

Para qualquer vetor a em V_3 .

Passo 1

Como temos um vetor em V_3 , podemos defini-lo da seguinte maneira:

a = ( a_1 , a_2 , a_3 )

Primeiro vamos ver como fica 0 xx a :

0 xx a = |[[hat i,,hat j,hat k],[0,0,0],[a_1,a_2,a_3]]| = |[[0,0],[a_2,a_3]]| hat i - |[[0,0],[a_1,a_3]]| hat j + |[[0,0],[a_1,a_2]]| hat k

Fazendo as contas:

0 xx a = (0 * a_3 - 0 * a_2) hat i - ( 0 * a_3 - 0 * a_1 ) hat j + ( 0 * a_2 - 0 * a_1 ) hat k

Isto é,

0 xx a = 0 hat i - 0 hat j + 0 hat k

Portanto,

0 xx a = ( 0,0 , 0 )

Passo 2

Agora vamos fazer a xx 0

a xx 0 = |[[hat i,hat j,hat k],[a_1,a_2,a_3],[0,0,0]]| = |[[a_2,a_3],[0,0]]| hat i - |[[a_1,a_3],[0,0]]| hat i + |[[a_1,a_2],[0,0]]| hat i

Assim,

a xx 0 = (0 * a_2 - 0 * a_3) hat i - ( 0 * a_1 - 0 * a_3 ) hat j + ( 0 * a_1 - 0 * a_2 ) hat k

Fazendo as contas:

a xx 0 = 0 hat i - 0 hat j + 0 hat k

Logo,

a xx 0 = ( 0,0 , 0 )

Passo 3

Juntando o que achamos no Passo 1 e no Passo 2, temos:

0 xx a = 0

a xx 0 = 0

Portanto,

0 xx a = 0 = a xx 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Demonstre a Propriedade 3 do Teorema 8.
Demonstre a Propriedade 1 do Teorema 8.
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