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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.4 - Ex. 25

Demonstre a Propriedade 3 do Teorema 8.

Passo 1

A Propriedade 1 diz o seguinte:

a xx (b + c) = a xx b + a xx c

Vamos definir o nosso vetor a como sendo

a = ( a_1 , a_2 , a_3 )

Nosso vetor b como sendo

b = ( b_1 , b_2 , b_3 )

E nosso vetor c como sendo

c = ( c_1 , c_2 , c_3 )

Assim,

(b + c) = (b_1 + c_1 , b_2 + c_2 , b_3 + c_3)

Passo 2

Agora vamos fazer a xx (b + c) :

a xx (b + c) = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,+,c_1,b_2,+,c_2,b_3,+,c_3]]| = |[[a_2,a_3],[b_2,+,c_2,b_3,+,c_3]]| i - |[[a_1,a_3],[b_1,+,c_1,b_3,+,c_3]]| j + |[[a_1,a_2],[b_1,+,c_1,b_2,+,c_2]]| k

a xx (b + c) = (a_2 b_3 + a_2 c_3 - a_3 b_2 - a_3 c_2) i - ( a_1 b_3 + a_1 c_3 - a_3 b_1 - a_3 c_1 ) j + ( a_1 b_2 + a_1 c_2 - a_2 b_1 - a_2 c_1 ) k

a xx (b + c) = (a_1 b_3 + a_1 c_3 - a_3 b_1 - a_3 c_1 , - a_1 b_3 - a_1 c_3 + a_3 b_1 + a_3 c_1 , a_1 b_2 + a_1 c_2 - a_2 b_1 - a_2 c_1)

Passo 3

Agora vamos fazer (a xx b) :

(a xx b) = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = |[[a_2,a_3],[b_2,b_3]]| i - |[[a_1,a_3],[b_1,b_3]]| j + |[[a_1,a_2],[b_1,b_2]]| k

(a xx b) = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[b_1,b_2,b_3]]| = (a_2 b_3 - a_3 b_2) i - ( a_1 b_3 - a_3 b_1 ) j + ( a_1 b_2 - a_2 b_1 ) k

(a xx b) = (a_2 b_3 - a_3 b_2 , - a_1 b_3 + a_3 b_1 , a_1 b_2 - a_2 b_1)

Passo 4

E, por fim, vamos fazer a xx c :

a xx c = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[c_1,c_2,c_3]]| = |[[a_2,a_3],[c_2,c_3]]| i - |[[a_1,a_3],[c_1,c_3]]| j + |[[a_1,a_2],[c_1,c_2]]| k

a xx c = |[[i,j,k],[a_1,a_2,a_3],[c_1,c_2,c_3]]| = (a_2 c_3 - a_3 c_2) i - ( a_1 c_3 - a_3 c_1 ) j + ( a_1 c_2 - a_2 c_1 ) k

a xx c = (a_2 c_3 - a_3 c_2 , - a_1 c_3 + a_3 c_1 , a_1 c_2 - a_2 c_1)

Passo 5

Assim, temos que

a xx (b + c) = (a_2 b_3 + a_2 c_3 - a_3 b_2 - a_3 c_2 , - a_1 b_3 - a_1 c_3 + a_3 b_1 + a_3 c_1 , a_1 b_2 + a_1 c_2 - a_2 b_1 - a_2 c_1) = (a_2 b_3 - a_3 b_2 , - a_1 b_3 + a_3 b_1 , a_1 b_2 - a_2 b_1) + (a_2 c_3 - a_3 c_2 , - a_1 c_3 + a_3 c_1 , a_1 c_2 - a_2 c_1) = a xx b + a xx c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Demonstre a parte 6 do Teorema 8, ou seja,a xx (b xx c) = (a * c) b - (a * b) c
Suponha que a ≠ 0 .Se a ∙ b = a ∙ c é verdade que b = c ?Se a × b = a × c é verdade que b = c ?Se a ∙ b = a ∙ c e a × b = a × c é verdade que b = c ?
Seja P um ponto não pertenente ao plano que passa pelos pontos Q , R e S . Mostre que a distancia d do ponto P ao plano é d = a × b ∙ c a × b Onde a = Q R → , b = Q S → e c = Q P → .Utilize a fórmula
Seja v = 5 j e seja u um vetor com comprimento 3 com início na origem e que gira no plano x y . Determine o máximo e o mínimo valor possível para u × v . Qual a direção e o sentido de u × v ?
Use vetores para decidir se o triângulo com vértices P 1 , - 3 , - 2 ,Q ( 2,0 , - 4 ) e R ( 6 , - 2 , - 5 ) é retângulo.