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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 12.5 - Ex. 77

Mostre que as retas com equações simétricas x = y = z e x + 1 = y / 2 = z / 3 são reversas e determine a distância entre elas.

Passo 1

Olá, tudo bem? Lembram que para duas retas serem reversas elas não são paralelas e não se intersectam. Para vermos melhor, vou transformar essas equações simétricas de reta em equações vetoriais:

  • Para a reta que vou chamar de r → 1 :

    • x = y = z = t

    Sendo assim, dessa igualdade tiramos três equações:

    x 1 = t y 1 = t z 1 = t

    O vetor diretor dessa reta é v → 1 = 1 , 1,1

  • Para a reta que vou chamar de r → 2 :

x + 1 = y / 2 = z / 3 = s

Sendo assim, dessa igualdade tiramos três equações:

x 2 = - 1 + s y 2 = 2 s z 2 = 3 s

O vetor diretor dessa reta é v → 2 = 1 , 2,3

Bom, para as retas serem paralelas, um vetor diretor deve ser um múltiplo escalar da outras, assim:

v → 1 = A v → 2

Mas não existe nenhum valor de A que faça a sentença ali em cima ser verdadeira. Então essas duas retas não são paralelas.

Passo 2

Agora resta saber se elas se intersectam em um ponto. Para isso acontecer, as coordenadas do ponto devem ser iguais. Do passo 1 temos as equações paramétricas das retas:

x 1 = t y 1 = t z 1 = t

E

x 2 = - 1 + s y 2 = 2 s z 2 = 3 s

Assim, se elas se intersectarem em um ponto teremos x 1 = x 2 ; y 1 = y 2 ; ; z 1 = z 2 . E os parâmetros t e s devem satisfazer as três equações. Vamos ver se existem parâmetros que satisfazem essas igualdades?

Passo 3

Vamos ter um sistema de três equações e duas variáveis, bem tranquilo de ser resolvido, olha só:

t = - 1 + s t = 2 s t = 3 s

Substituindo a primeira equação na segunda teremos:

- 1 + s = 2 s ∴ s = - 1

Agora voltando a substituir o valor de s na primeira e determinando o valor de t :

t = - 1 - 1 = - 2

Então, das duas primeiras equações temos os valores de t = - 2 e s = - 1 . Mas lembrem-se, esses parâmetros devem satisfazer TODAS AS TRÊS equações. Assim podemos fazer a prova real na terceira equação:

- 2 = 3 . - 1

- 2 = - 3     ( E R R A D O ! )

E chegamos a uma inconsistência! Ou seja, não existe um conjunto de parâmetros que satisfaçam as três equações simultaneamente e as retas são, portanto, reversas.

Passo 4

Agora vamos calcular a distância entre elas. Vamos assumir que existe um plano P 1   que contém a reta de equação r → 1 e um plano P 2 que contém a reta de equação r → 2 . A distância entre as retas vai ser a distância entre os planos que contém essas duas retas. Lembrando que a distância entre dois planos pode ser calculada escolhendo um ponto arbitrário em um dos planos e calculando a distância até o outro.

Vamos primeiro determinar esse ponto. Fazendo t = 0   (por simplicidade) na reta de equação r → 1 :

x 1 = t = 0 y 1 = t = 0 z 1 = t = 0

O ponto é P 1 ( 0,0 , 0 ) .

Passo 5

O próximo passo é determinar a equação do plano que contém a outra reta.

Lembram que para determinar a equação do plano é preciso um ponto que pertence a ele ( x 0 , y 0 , z 0 ) e um vetor normal ( a , b , c ) ? A equação do plano é:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Um ponto que pertence a ele pode ser dado fazendo s = 0   (de novo por simplicidade) na equação paramétrica da reta r → 2 :

x 2 = - 1 + s = - 1 y 2 = 2 = 0 z 2 = 3 s = 0

Assim o ponto pertencente a esse plano é P 2 ( - 1,0 , 0 )

Dois vetores que podem formar esse plano são os vetores diretores das retas e fazendo o produto vetorial entre eles podemos ter um vetor normal ao plano!

Os vetores diretores são: v → 1 1 , 1,1 e v → 2 ( 1,2 , 3 ) e o produto vetorial entre eles é:

n → = v → 1 × v → 2 = i → j → k → 1 1 1 1 2 3 = i → 3 - 2 + j → 1 - 3 + k → ( 2 - 1 )

n → = ( 1 , - 2,1 )

E a equação do plano vai ser:

1 x + 1 - 2 y - 0 + 1 z - 0 = 0

x - 2 y + z + 1 = 0

Pronto! Agora é só calcular a distância desse plano que acabamos de calcular ao ponto P 1 lá do passo 1 !

Passo 6

Lembrando que a fórmula da distância D do ponto P ( x 0 , y 0 , z 0 ) ao plano de equação a x + b y + c z + d = 0 é:

D = | a x 0 + b y 0 + c z 0 + d | a 2 + b 2 + c 2  

E que P = P 1 = ( 0,0 , 0 ) e a equação do plano é x - 2 y + z + 1 = 0 , a distância D fica:

D = | 1.0 - 2.0 + 1.0 + 1 | 1 2 + ( - 2 ) 2 + 1 2   = 1 6

Então a distância entre as duas retas é 1 6 .

Beleza?

Vamos pra próxima?

Resposta

1 6

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27. Determine os pontos da reta r que equidistam dos planos π 1 e π 2 .(b) r : x - 1 = 2 y = z ; π 1 = 2 x - 3 y - 4 z - 3 = 0 ; π 2 : 4 x - 3 y - 2 z + 3 = 0
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