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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 13.1 - Ex. 19

Encontre uma equação vetorial e equações paramétricas para o segmento de reta que liga P e Q.

P 0 , - 1,1 ,     Q 1 2 , 1 3 , 1 4

Passo 1

Olá, meu nobre e querido amigo. A gente tem os pontos:

P 0 , - 1,1

e

Q 1 2 , 1 3 , 1 4

E a gente precisa encontrar uma equação vetorial e uma equação paramétrica para o segmento de reta que ligam esses dois pontos.

A equação vetorial para o segmento de reta que une a extremidade de um vetor r 0 a extremidade de um vetor r 1 é:

r t = 1 - t r 0 + t r 1               0 ≤ t ≤ 1

A equação paramétrica de uma reta é quando relacionamos as componentes da equação vetorial da reta com as coordenadas x ,   y   e   z .

Para a gente, r 0 será o ponto P e r 1 será o ponto Q , e t é o parâmetro da equação paramétrica.

Passo 2

Calculando a equação vetorial da reta:

r 0 = 0 , - 1 ,   1

r 1 = 1 2 , 1 3 , 1 4

Substituindo em r ( t ) :

r t = 1 - t 0 , - 1 ,   1 + t 1 2 , 1 3 , 1 4

r ( t ) = 1 2 t , - 1 + 4 3 t , 1 - 3 4 t                   0 ≤ t ≤ 1  

Passo 3

Utilizando a equação vetorial para escrever a equação paramétrica da reta:

r t = x = 1 2 t                                                                           y = - 1 + 4 3 t               0 ≤ t ≤ 1   z = 1 - 3 4 t                                                              

Veja que o que fizermos para encontrar a equação paramétrica foi chamar cada componente x , y , z pela sua equação paramétrica encontrada na equação vetorial. Pois a equação vetorial é representada de forma geral por:

r t = < x t ,   y t ,   z t >

Resposta

Equação vetorial:   r t = 1 2 t , - 1 + 4 3 t , 1 - 3 4 t                   0 ≤ t ≤ 1

Equação paramétrica: r t = x = 1 2 t                                                                           y = - 1 + 4 3 t               0 ≤ t ≤ 1   z = 1 - 3 4 t                                                              

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