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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 52

52. Mostre que se x y = 1 , então (d ² y)/(d x ²) * (d^2 x)/(d y^2) = 4 .

Passo 1

Nessa questão nós temos uma equação e temos que derivar ela em dois passos.

  1. Dependendo da variável x
  2. Dependendo da variável y

Passo 2

1º - Derivada em função de x

x y = 1

Então, podemos dizer que y = (1)/(x) ou ainda y = x^(- 1) , certo? Dessa forma:

(d y)/(d x) = - 1 ( x^(- 2) )

(d y)/(d x) = - (1)/(x^2) = - x^(- 2)

Derivando de novo:

(d ² y)/(d x ²) = ( - 2 ) ( - x^(- 3) )

(d ² y)/(d x ²) = (2)/(x^3) = 2 x^(- 3)

Passo 3

2º - Derivada em função de y

Então, podemos dizer que x = (1)/(y) ou ainda x = y^(- 1) , certo? Dessa forma:

(d x)/(d y) = - 1 ( y^(- 2) )

(d x)/(d y) = - (1)/(y^2) = - y^(- 2)

Derivando de novo:

(d ² x)/(d y ²) = ( - 2 ) ( - y^(- 3) )

(d ² x)/(d y ²) = (2)/(y^3) = 2 y^(- 3)

Passo 4

Mas foi isso que o enunciado pediu? Não!

O enunciado pediu para mostrar que (d ² y)/(d x ²) * (d^2 x)/(d y^2) = 4 .

Então vamos só substituir os valores e ver se dá certo:

(2)/(x^3) * (2)/(y^3) = 4

Ué, e esses denominadores aí? Vamos pensar...

(d ² y)/(d x ²) * (d^2 x)/(d y^2) = 4 é válido quando x y = 1 .

Continuando:

(2)/(x^3) * (2)/(y^3) = 4

(4)/((x y)^3) = 4

:.

4 = 4

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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