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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 12h

Calcule f^' (x) .

f (x) = (e^x)/(x^2 + 1)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = e^x

e

g (x) = x^2 + 1

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((e^x)/(x^2 + 1))^' = ((e^x)^' * (x^2 + 1) - (e^x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra da função constante, do polinômio e da função exponencial:

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando a da função exponencial:

h^' (x) = (e^x)^' = e^x * (x)^' = e^x * x^(1 - 1) = e^x * x^0 = e^x * 1 = e^x

Com g ' ( x ) vamos usar regra da função constante e do polinômio:

g^' (x) = (x^2 + 1)^' = 2 x^(2 - 1) + 0 = 2 x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((e^x)/(x^2 + 1))^' = ((e^x)^' * (x^2 + 1) - (e^x) * (x^2 + 1) ')/((x^2 + 1)^2) = (e^x * (x^2 + 1) - (e^x) * 2 x)/((x^2 + 1)^2) = (e^x * (x^2 + 1 - 2 x))/((x^2 + 1)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (e^x * (x^2 + 1 - 2 x))/((x^2 + 1)^2)

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