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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 55

55. Se y = x n , onde n é qualquer inteiro positivo, prove, por indução matemática, que

d n d x n = n !

Passo 1

Para provarmos o que o enunciado pede, primeiro precisamos assumir que essa conta funciona para um certo n=k. Então se provarmos que funciona para um n= k+1, vai funcionar para qualquer n, porque se para um certo número k o número seguinte também funciona.

Uma outra coisa necessária para resolver esse exercício é lembrar como o número fatorial funciona.

Exemplo:

4 ! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

5 ! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1

m ! = m ⋅ m - 1 ⋅ m - 2 ⋅ m - 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Passo 2

Assumindo que para um certo valor n=k a expressão do enunciado é verdadeira, temos:

y = x k

d k d x k x k = k !

Passo 3

Agora escolhendo um n = k + 1 e realizando a operação do enunciado:

y = x k + 1

d k + 1 d x k + 1 x k + 1 = k + 1 ⋅ d k d x k ( x k )

Mas como vimos no passo 2:

d k d x k x k = k !

Assim substituindo isso na conta que estávamos fazendo:

k + 1 ⋅ d k d x k x k = k + 1 ⋅ k !

Pela definição de fatorial:

k + 1 ⋅ k ! = k + 1 !

Logo

d k + 1 d x k + 1 x k + 1 = k + 1 !

Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.

Como pode ser visto, o que eu fiz foi induzir o pensamento para chegar a onde queríamos e provar o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Nos exercícios de 46 a 49, ache as fórmulas para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) e estabeleça os domínios de f ' e f ' ' .47.f x = - x 2s ex0 x 2s e0 ≤ x
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