Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 3.10 - Ex. 55

55. Se , onde n é qualquer inteiro positivo, prove, por indução matemática, que

Passo 1

Para provarmos o que o enunciado pede, primeiro precisamos assumir que essa conta funciona para um certo n=k. Então se provarmos que funciona para um n= k+1, vai funcionar para qualquer n, porque se para um certo número k o número seguinte também funciona.

Uma outra coisa necessária para resolver esse exercício é lembrar como o número fatorial funciona.

Exemplo:

Passo 2

Assumindo que para um certo valor n=k a expressão do enunciado é verdadeira, temos:

Passo 3

Agora escolhendo um e realizando a operação do enunciado:

Mas como vimos no passo 2:

Assim substituindo isso na conta que estávamos fazendo:

Pela definição de fatorial:

Logo

Mostrando que a fórmula fornecida pelo enunciado é verdadeira para qualquer que seja o n.

Como pode ser visto, o que eu fiz foi induzir o pensamento para chegar a onde queríamos e provar o que o enunciado pedia.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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