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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 14a

Calcule F^' (x) sendo F (x) igual a

x e^x cos x

Passo 1

Aqui vamos usar a regra do produto:

(h (x) g (x))^' = h ' (x) g (x) + g ' (x) h (x)

Temos que:

h (x) = x e^x

e

g (x) = cos x

Assim:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x e^x)^' * cos x + (cos x)^' * x e^x

Passo 2

Vamos usar a regra da função exponencial, da função trigonométrica e do polinômio:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(cos (x))^' = - sen (x)

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , vamos usar a regra do produto novamente:

(r (x) s (x))^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x)

Temos que:

r (x) = x

e

s (x) = e^x

Assim:

(x e^x)^' = r ' (x) s (x) + s ' (x) r (x) = (x)^' * e^x + (e^x)^' * x

Para calcular r^' (x) vamos usar a regra do polinômio:

r ' ( x ) = (x)^' = x^(1 - 1) = x^0 = 1

Com s ' ( x ) vamos usar a regra da função exponencial:

s ' ( x ) = (e^x)^' = e^x * (x)^' = e^x * x^(1 - 1) = e^x * x^0 = e^x * 1 = e^x

Substituindo de volta:

(x e^x)^' = (x)^' * e^x + (e^x)^' * x = 1 * e^x + e^x * x = e^x + x e^x

Passo 4

Por último, com g ' ( x ) vamos usar a regra da função trigonométrica:

g ' ( x ) = (cos x)^' = - sen x

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = h^' (x) g (x) + g^' (x) h (x) = (x e^x)^' * cos x + (cos x)^' * x e^x = (e^x + x e^x) * cos x + (- sen x) * x e^x = e^x (cos x + x cos x - x sen x)

Resposta

f^' (x) = e^x (cos x + x cos x - x sen x)

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