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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.7 - Ex. 12d

Calcule f^' (x) .

f (x) = (1 + e^x)/(1 - e^x)

Passo 1

Para calcular essa derivada vamos usar algumas regras, de primeira dá pra perceber que vamos usar a regra da divisão:

((h (x))/(g (x)))^' = (h^' (x) g (x) - h (x) g ' (x))/([g (x)]^2)

Temos que:

h (x) = 1 + e^x

e

g (x) = 1 - e^x

Vamos agora só montar na fórmula:

f^' (x) = ((1 + e^x)/(1 - e^x))^' = ((1 + e^x)^' * (1 - e^x) - (1 + e^x) * (1 - e^x) ')/((1 - e^x)^2)

Passo 2

Vamos usar a regra da função constante e da função exponencial:

(c)^' = 0

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Passo 3

Vamos calcular h ' ( x ) , usando as duas regras:

h^' (x) = (1 + e^x)^' = 0 + e^x * (x)^' = e^x * x^(1 - 1) = e^x * x^0 = e^x * 1 = e^x

Com g ' ( x ) vamos usar as mesmas regras:

g^' (x) = (1 - e^x)^' = 0 - e^x * (x)^' = - e^x * x^(1 - 1) = - e^x * x^0 = - e^x * 1 = - e^x

Passo 4

Agora é só substituir de volta na fórmula e pronto:

f^' (x) = ((1 + e^x)/(1 - e^x))^' = ((1 + e^x)^' * (1 - e^x) - (1 + e^x) * (1 - e^x) ')/((1 - e^x)^2) = (e^x * (1 - e^x) - (1 + e^x) * (- e^x))/((1 - e^x)^2) = (e^x - e^(2 x) + e^x + e^(2 x))/((1 - e^x)^2) = (2 e^x)/((1 - e^x)^2)

Resposta

f^' ( x ) = (2 e^x)/((1 - e^x)^2)

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