Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 40
- Suponha que e sejam séries com termos positivos e seja convergente. Demonstre que se
então, também é convergente.
- Use a parte (a) para mostrar que as séries convergem.
então, também é convergente.
Passo 1
Vamos lá. Primeiramente precisamos entender que nessa seção do livro é esperado que se resolva os exercícios utilizando os testes de comparação.
Os testes de comparação são utilizados para solucionar uma série a partir do resultado de outra. E é justamente esse teste de comparação que utilizaremos nos próximos passos.
Vamos relembrar o teorema da comparação?
A primeira parte do teorema da comparação diz:
“Se for convergente e para todo n, então também será convergente.”
Passo 2
(a)
Sabemos que e são positivos. E sabemos também que:
Isso significa que deve ser menor que para qualquer . Pois temos um indo ao infinito mais rápido que o .
Como é convergente, pelo teste da comparação, também vai ser!
Passo 3
(b)
- Temos que utilizar o teorema do passo 02 para avaliar a convergência da seguinte série:
- Devemos utilizar os mesmos procedimentos do passo anterior para a série:
Considerando:
De modo que precisamos de um que seja positivo, que seja e que seja certamente convergente. Podemos utilizar então:
Pois é uma série-p com .
Portanto temos:
Calculando o limite:
Aplicando L’Hospital
Como
E converge, pois é uma série-p com , temos que:
Também converge.
Passo 4
Novamente precisamos utilizar algum que seja positivo, , e que seja certamente convergente.
Utilizaremos:
Pois é uma série geométrica com .
Aplicando L’Hospital
Fazendo a divisão de frações
Como
temos que:
Também converge.
Resposta
Demonstração feita pelo teorema da comparação.