Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 108
Mostre que a tangente à curva em qualquer ponto intercepta a curva novamente em um ponto em que o coeficiente angular é quatro vezes o coeficiente angular em .
Passo 1
Precisaremos primeiro achar a equação da reta tangente à curva em e em seguida achar qual outro pontos ela intercepta a curva e achar o coeficiente angular da reta tangente nesse ponto para verificar a informação.
Passo 2
No ponto :
Usando a equação da reta e substituindo o ponto na equação:
Portanto a reta tangente possui equação
Passo 3
Agora precisamos achar o outro ponto que a reta intercepta a curva e para isso montaremos um sistema usando a equação da reta e a equação da curva:
Para resolver o sistema substituiremos a equação em :
Subtraindo dos dois lados temos:
Usando o produto notável :
Que nos dá como resposta , ou podemos cortar dos dois lados o :
E resolvendo a equação acima temos:
e
Resposta
Como é o ponto dado que já sabemos que a reta cruza a curva, resta apenas o ponto . Nesse ponto a reta tangente cruzará a curva. Falta apenas verificar que nesse ponto a derivada é 4 vezes maior