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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.Exercícios Práticos - Ex. 89

Determine o valor de d w // d s em s = 0 se w = s e n (e^(sqrt(r))) e r = 3 s e n (s + pi // 6) .

Passo 1

Se fizéssemos a derivada de w da forma que está obteríamos (d w)/(d r) pois r é a variável, porém o que se pede é (d w)/(d s) . Nesse sentido, podemos tratar w como uma função composta, e para resolver o problema dessa forma precisaremos usar a regra da cadeia, ou seja, usar que:

(d w)/(d s) = (d w)/(d r) . (d r)/(d s)

Passo 2

Calculando (d w)/(d r) :

(d w)/(d r) = cos ( e^(sqrt(r)) ) . e^(sqrt(r)) . (1)/(2) . r^(- (1)/(2))

Calculando d r // d s :

(d r)/(d s) = 3 cos ( s + pi // 6 )

Passo 3

Substituindo (d w)/(d r) e (d r)/(d s) em (d w)/(d s) , obtemos:

(d w)/(d s) = cos ( e^(sqrt(r)) ) . e^(sqrt(r)) . (1)/(2) . r^(- (1)/(2)) . 3 cos ( s + pi // 6 )

Resta agora achar o valor de r para s = 0 e substituir na equação de cima

r = 3 s e n (pi // 6)

r = (3)/(2)

Substituindo s e r em (d w)/(d s) , temos:

(d w)/(d s) = (3)/(2) ( cos (e^(sqrt((3)/(2)))) e^(sqrt((3)/(2))) cos ( pi // 6 ) ) // sqrt((3)/(2))

(d w)/(d s) = (3 sqrt(2) e^(sqrt((3)/(2))) c o s ( e^(sqrt((3)/(2))) ) sqrt(3))/(2.2 sqrt(3))

Resposta

(d w)/(d s) = (3 sqrt(2) e^(sqrt((3)/(2))) c o s ( e^(sqrt((3)/(2))) ))/(4)

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