Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 12b

12. A. Encontre a solução u x ,   y da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b , que satisfaz as condições de contorno

u 0 ,   y = 0 ,         u a ,   y = 0 ,           0 < y < b

u y x ,   0 = 0 ,         u x ,   b = g x ,           0 ≤ x ≤ a .

Note que esse não é um problema de Dirichlet nem de Neumann, mas um problema misto no qual u é dada em parte da fronteira e sua derivada normal é dada no resto.

B - Encontre a soluções se

g x = x ,             0 ≤ x ≤ a / 2 a - x ,           a 2 ≤ x ≤ a

Passo 1

L e t r a   B :

Beleza, no item A, encontramos a solução da Nossa EDO em termos gerais e ficou assim:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a cosh ⁡ n π b a  

Onde

b n = 2 a   cosh ⁡ n π b a ∫ 0 a g x s e n   n π x a d x

Dessa forma, encontramos os coeficientes b n da série! Agora veja que esses coeficientes estão em função da integral de g . Vamos defini-lo então?

Passo 2

Beleza! Então agora devemos encontrar a solução caso...

g x = x ,           0 ≤ x ≤ a / 2 , a - x ,         a 2 ≤ x ≤ a

Basicamente temos que resolver essa que define o b n aqui:

∫ 0 a g x s e n   n π x a d x

Como a nossa função está definida por partes (de 0 até a / 2 e de a / 2 até a ) temos que separar essa integral aí em duas partes também:

∫ 0 a g x s e n   n π x a d x = ∫ 0 a / 2 x ⋅ s e n   n π x a d x + ∫ a / 2 a a - x s e n   n π x a d x     →

Podemos separar essa integral que vai de a / 2 até a em duas:

∫ 0 a g x s e n   n π x a d x = ∫ 0 a / 2 x ⋅ s e n   n π x a d x - ∫ a / 2 a x ⋅ s e n   n π x a d x + a ∫ a / 2 a s e n   n π x a d x     →

O bom disso é que a última integral se resolve fácil, já que se trada da integral do seno:

∫ a / 2 a s e n   n π x a d x = - cos ⁡ n π x a n π a a 2 a

Substituindo os limites de integração...

∫ a / 2 a s e n   n π x a d x = - a n π cos ⁡ n π a a - cos ⁡ n π a 2 a   →

∫ a / 2 a s e n   n π x a d x = - a n π cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 2  

Já quanto as demais integrais alí, podemos usar integração por partes para resolver essas integrais! Venha comigo

Passo 3

∫   x ⋅ s e n   n π x a d x

Chamando de x de u e o seno de d v ...

u = x               e           d v = s e n   n π x a d x

d u = d x               e           v = - a n π cos ⁡ n π x a

Então...

∫   x ⋅ s e n   n π x a d x = - a x n π cos ⁡ n π x a - ∫     - a n π cos ⁡ n π x a d x   →

∫   x ⋅ s e n   n π x a d x = - a x n π cos ⁡ n π x a + a n π ∫     cos ⁡ n π x a d x   →

Integrando agora o cosseno...

∫   x ⋅ s e n   n π x a d x = - a x n π cos ⁡ n π x a + a n π s e n   n π x a n π a   →

∫   x ⋅ s e n   n π x a d x = - a x n π cos ⁡ n π x a + a 2 n 2 π 2 s e n   n π x a  

Então...

∫ 0 a 2 x ⋅ s e n   n π x a d x   =   - a x n π cos ⁡ n π x a + a 2 n 2 π 2 s e n   n π x a 0 a 2 =

- a 2 n 2 π cos ⁡ n π 2 + a 2 n 2 π 2 s e n   n π 2

Enquanto isso...

∫ a 2 a x ⋅ s e n   n π x a d x =   - a x n π cos ⁡ n π x a + a 2 n 2 π 2 s e n   n π x a a 2 a =

- a 2 2 n π cos ⁡ n π 2 + a 2 n 2 π 2 s e n   n π 2 - - a 2 n π cos ⁡ n π + a 2 n 2 π 2 s e n   n π

Passo 4

Lembre-se de que s e n   n π = 0 . Podemos concluir sobre a integral de g no geral...

∫ 0 a g x s e n   n π x a d x = ∫ 0 a / 2 x ⋅ s e n   n π x a d x - ∫ a / 2 a x ⋅ s e n   n π x a d x + a ∫ a / 2 a s e n   n π x a d x     →

∫ 0 a g x s e n   n π x a d x = - a 2 n 2 π cos ⁡ n π 2 + a 2 n 2 π 2 s e n   n π 2 - - a 2 2 n π cos ⁡ n π 2 + a 2 n 2 π 2 s e n   n π 2 - - a 2 n π cos ⁡ n π + a - a 2 n π cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 2     →

Simplificando cancelando os termos em comum teremos...

∫ 0 a g x s e n   n π x a d x = - - - a 2 n π cos ⁡ n π - a 2 n π cos ⁡ n π - cos ⁡ n π 2     →

∫ 0 a g x s e n   n π x a d x = - a 2 n π cos ⁡ n π - a 2 n π cos ⁡ n π + a 2 n π cos ⁡ n π 2     →

∫ 0 a g x s e n   n π x a d x = a 2 n π - 2 cos ⁡ n π + cos ⁡ n π 2    

O cosseno de n π pode ser trocado por - 1 n . Enfim, podemos concluir que o b n pode ser então ser encontrado facilmente assim:

b n = 2 a   cosh ⁡ n π b a ∫ 0 a g x s e n   n π x a d x     →

b n = 2 a   cosh ⁡ n π b a a 2 n π - 2 cos ⁡ n π + cos ⁡ n π 2     →

b n = 2 a - 2 - 1 n + cos ⁡ n π 2   n π   cosh ⁡ n π b a

Resposta

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n s e n n π x a cosh ⁡ n π y a  

Onde...

b n = 2 a - 2 - 1 n + cos ⁡ n π 2   n π   cosh ⁡ n π b a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos Problemas 28-33, use a relação de recorrência dada no Problema 21 e os resultados obtidos no Problema 27 e no Exemplo 4 para expressar a função de Besse pedida em termos de sen ⁡ x , cos ⁡ xe potê
Mostre que i - vJ v i x ,i 2 = - 1 é uma função real. A função definida por I v x = i - v J v ( i x ) é chamada de função de Bessel modificada de primeira espécie de ordem v .
Nos Problemas 28-33, use a relação de recorrência dada no Problema 21 e os resultados obtidos no Problema 27 e no Exemplo 4 para expressar a função de Besse pedida em termos de sen ⁡ x , cos ⁡ xe potê
Encontre a solução geral para a equação diferencial: x 2 y ' ' + x y ' - x 2 + v 2 y = 0 , x0
Mostre que a equação de Legendre pode ser escrita na forma alternativa d d x 1 - x 2 d y d x + n n + 1 y = 0