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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.8 - Ex. 14b

14. A - Encontre a solução u x ,   y da equação de Laplace no retângulo 0 < x < a , 0 < y < b , que satisfaz as condições de contorno

u x 0 ,   y = 0 ,             u x a ,   y = 0 ,             0 < y < b ,

u x ,   0 = 0 ,                     u x ,   b = g x ,                 0 ≤ x ≤ a

B - Encontre a solução se g x = 1 + x 2 x - a 2

Passo 1

L e t r a   B :

No exercício anterior determinamos a solução da equação de Laplace na região retangular o qual encontramos a seguinte solução:

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n π x a s e n h n π y a  

Onde

b n = 2 a   s e n h n π b a ∫ 0 a g x cos ⁡ n π x a d x

Veja então que encontrar a solução onde...

g x = 1 + x 2 x - a 2

Nada mais é do que resolver essa integração aí obtendo os valores de c k . Vamos nessa?

Passo 2

Como a integral

∫ 0 a 1 + x 2 x - a 2 cos ⁡ n π x a d x

Não é tão rápida, afinal tem-se que resolver 4 integrações por partes, é mais interessante aqui resolver essa integral usando alguma calculadora ou site (vamos aproveitar que o exercício dá liberdade para se resolver usando ajuda do computador ). Aqui vamos computar essa integral usando o WolframAlpha. Onde vamos obter...

a a 4 24 - 2 π 2 n 2 + π 4 n 4 sin ⁡ π n - 12 π a 5 n cos ⁡ n π + 1 n 5 π 5

Mas como n ≥ 1 e inteiro, então sin ⁡ π n = 0 e cos ⁡ n π = - 1 n ...

∫ 0 a 1 + x 2 x - a 2 cos ⁡ n π x a d x = - 12 π a 5 n - 1 n + 1 n 5 π 5

Sendo assim...

b n = 2 a   s e n h n π b a ∫ 0 a g x cos ⁡ n π x a d x     →

b n = 2 a   s e n h n π b a - 12 π a 5 n - 1 n + 1 n 5 π 5   →

b n = - 24 π a 4 n - 1 n + 1 n 5 π 5   s e n h n π b a

Resposta

u x , y = ∑ n = 1 ∞ b n cos ⁡ n π x a s e n h n π y a  

Onde

b n = - 24 π a 4 n - 1 n + 1 n 5 π 5   s e n h n π b a

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Proceda como no Exemplo 4 e expresse J - 1 2( x ) em termos de cos ⁡ x e uma potência de x .
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Nos Problemas 23-26, use (14) ou (15) para obter os resultados pedidos. ∫ x 3 J 0 x d x = x 3 J 1 x + 2 x 2 J 0 x - 4 x J 1 x + c