Trace a curva com equações paramétricas

x = (1 + cos(16t)) cos(t), y = (1 + cos(16t)) sen(t), z = 1 + cos(16t)

Explique a aparência da curva, mostrando que ela está em um cone.

Passo 1

Eaee, tudo tranquilo?? Bom... o enunciado nos deu as seguintes equações paramétricas que descrevem uma curva:

x = 1 + cos ⁡ 16 t cos ⁡ t

y = 1 + cos ⁡ 16 t   s e n   t

z = 1 + cos ⁡ 16 t

Queremos explicar a aparência da curva, mostrando que ela está em um cone.

Mas como fazemos isso???

Precisamos da equação do cone, que é dada por:

x 2 + y 2 = z 2

Bom, pessoal... Para provar que a curva está de fato no cone, vamos tentar chegar na equação do cone a partir das equações paramétricas da curva.

Ou seja, vamos substituir duas equações paramétricas na equação do cone e vamos verificar se bateu o resultado!! Se bater, então está provado!! Aí é só a gente plotar depois 😉

Passo 2

Vamos pegar x 2 + y 2 da equação do cone e vamos pegar as equações paramétricas x e y para substituir:

x 2 + y 2 = 1 + cos ⁡ 16 t 2 cos 2 ⁡ t + 1 + cos ⁡ 16 t 2   s e n 2   t

Colocando o termo comum em evidência:

x 2 + y 2 = 1 + cos ⁡ 16 t 2 cos 2 ⁡ t + s e n 2   t

Sabemos de uma identidade trigonométrica que cos 2 ⁡ t + s e n 2   t = 1 , portanto:

x 2 + y 2 = 1 + cos ⁡ 16 t 2

Podemos perceber das equações paramétricas que z = 1 + cos ⁡ 16 t , portanto:

x 2 + y 2 = z 2

Que é a equação do cone!!!

Assim, a gente prova que nossa curva está dentro do cone!!!

Agora vamos plotar ela:

Exatamente como queríamos provar, né galera?

Resposta

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