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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 9.2 - Ex. 12

  1. Mostre que, para todo x > 0 ,

    2. x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! < sen ⁡ x

  2. Mostre que, para todo x ≠ 0 ,

sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! < x 7 7 !

Generalize tal resultado.

Passo 1

  1. Vamos considerar a expressão f x = sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 !

    2. Temos que:

    f 0 = sen ⁡ 0 - 0 - 0 3 3 ! + 0 5 5 ! - 0 7 7 ! = 0

    Vamos calcular f ' x :

    f ' x = sen ⁡ x - x - x 3 6 + x 5 120 - x 7 5040 ' = cos ⁡ x - 1 - 3 x 2 6 + 5 x 4 120 - 7 x 6 5040 = cos ⁡ x - 1 + x 2 2 - x 4 24 + x 6 720

    Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

    f ' x > 0 para x > 0 , assim f x é estritamente crescente em   0 , + ∞ .

    Assim temos que:

    f x > 0 → sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! > 0 → sen ⁡ x > x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 !

    Passo 2

  2. Vamos considerar a expressão:

- x 7 7 ! < sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! < x 7 7 !

Temos que - x 7 7 ! < sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! foi respondido no passo anterior.

Vamos fazer para sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! < x 7 7 ! , assim g x = sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! + x 7 7 !

Temos que:

g 0 = sen ⁡ 0 - 0 - 0 3 3 ! + 0 5 5 ! + 0 7 7 ! = 0

Vamos calcular f ' x :

g ' x = sen ⁡ x - x - x 3 6 + x 5 120 + x 7 5040 ' = cos ⁡ x - 1 - 3 x 2 6 + 5 x 4 120 = cos ⁡ x - 1 + x 2 2 - x 4 24 + x 6 720

Agora vamos analisar o sinal de f ' x :

g ' x < 0 para x > 0 , assim g x é estritamente decrescente em - ∞ , 0 .

Assim temos que:

g x < 0 → sen ⁡ x - x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 ! < 0 → sen ⁡ x < x - x 3 3 ! + x 5 5 ! - x 7 7 !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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